四元数と外積との関係

　　ｘ＝ｘ0＋ｘ1ｉ＋ｘ2ｊ＋ｘ3ｋ，ｙ＝ｙ0＋ｙ1ｉ＋ｙ2ｊ＋ｙ3ｋ

　　ｘ~＝ｘ1ｉ＋ｘ2ｊ＋ｘ3ｋ，ｙ~＝ｙ1ｉ＋ｙ2ｊ＋ｙ3ｋ

　　｜ｘ｜^2｜ｙ｜^2＝＜ｘ~，ｙ~＞^2＋｜−ｘ0ｙ~＋ｙ0ｘ~−（ｘ~×ｙ）｜^2

を使って，コーシー・ラグランジュの恒等式を導出することができる．

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［８］コーシー・ラグランジュの恒等式

［ａ］（ｘ0^2＋ｘ1^2＋ｘ2^2＋ｘ3^2）（ｙ0^2＋ｙ1^2＋ｙ2^2＋ｙ3^2）

＝（ｘ0ｙ0＋ｘ1ｙ1＋ｘ2ｙ2＋ｘ3ｙ3）^2

＋（ｘ0ｙ1−ｘ1ｙ0）^2＋（ｘ0ｙ2−ｘ2ｙ0）^2＋（ｘ0ｙ3−ｘ3ｙ0）^2

＋（ｘ2ｙ3−ｘ3ｙ2）^2＋（ｘ3ｙ1−ｘ1ｙ3）^2＋（ｘ1ｙ2−ｘ2ｙ1）^2

［ｂ］（ｘ1^2＋ｘ2^2＋ｘ3^2）（ｙ1^2＋ｙ2^2＋ｙ3^2）

＝（ｘ1ｙ1＋ｘ2ｙ2＋ｘ3ｙ3）^2

＋（ｘ2ｙ3−ｘ3ｙ2）^2＋（ｘ3ｙ1−ｘ1ｙ3）^2＋（ｘ1ｙ2−ｘ2ｙ1）^2

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