四元数ではｘ^2−１＝０の解は２個，ｘ^2＋１＝０の解は無限個存在する．

　　ｘ＝ｘ0＋ｘ1ｉ＋ｘ2ｊ＋ｘ3ｋ，ｘ0＝０，ｘ1^2＋ｘ2^2＋ｘ3^2＝０

［１］ｘ^3−１＝０の解は無限個

　　ｘ＝１

　　ｘ＝−１／２＋＋ｘ1ｉ＋ｘ2ｊ＋ｘ3ｋ，ｘ1^2＋ｘ2^2＋ｘ3^2＝３／４

［２］ｘ^3＋１＝０の解も無限個

　　ｘ＝−１

　　ｘ＝１／２＋＋ｘ1ｉ＋ｘ2ｊ＋ｘ3ｋ，ｘ1^2＋ｘ2^2＋ｘ3^2＝３／４

存在する．

　これらは四元数体の範囲で考えているが，四元整数（フルビッツの整数環）の範囲で考える．

　フルビッツの整数環とは

　　ｑ＝ｘ＋ｙｉ＋ｚｊ＋ｗｋ，ｘ，ｙ，ｚ，ｗは整数と半整数

からなり，たとえば，

　　ω＝（１＋ｉ＋ｊ＋ｋ）／２

は，

　　ω^2＝（−１＋ｉ＋ｊ＋ｋ）／２

　　ω^3＝−１

　　ω^4＝−（１＋ｉ＋ｊ＋ｋ）／２

　　ω^5＝（１−ｉ−ｊ−ｋ）／２

　　ω^6＝１

より１の原始６乗根であり，ωは四元整数の範囲で考えている．

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［１］ｑ＝±１，ｑ＝±ｉ，ｑ＝±ｊ，ｑ＝±ｋ，

　　ｑ＝（±１±ｉ±ｊ±ｋ）／２

の２４個が１の約数である単数（単位四元数）である．この単数全体は原点を中心とする正２４胞体をなす．

［２］単数について，

　　ｑ^n＝ｑ・ｑ^(n-1)＝１

となるｑのリストを作ると，

１）ｎ＝２のとき

　　ｑ＝±１の２個，ｑ＝−１は１の原始２乗根

２）ｎ＝３のとき

　　ｑ＝１，ｑ＝（−１±ｉ±ｊ±ｋ）／２の９個，ｑ＝（−１±ｉ±ｊ±ｋ）／２は１の原始３乗根

３）ｎ＝４のとき

　　ｑ＝±１，ｑ＝±ｉ，ｑ＝±ｊ，ｑ＝±ｋの８個，ｑ＝±ｉ，ｑ＝±ｊ，ｑ＝±ｋは１の原始４乗根

４）ｎ＝５のとき

　　ｑ＝１の１個

５）ｎ＝６のとき

　　ｑ＝±１，ｑ＝（±１±ｉ±ｊ±ｋ）／２の１８個，ｑ＝（１±ｉ±ｊ±ｋ）／２は１の原始６乗根

６）ｎ＝７のとき

　　ｑ＝１の１個

７）ｎ＝８のとき

　　ｑ＝±１，ｑ＝±ｉ，ｑ＝±ｊ，ｑ＝±ｋの８個

８）ｎ＝９のとき

　　ｑ＝１，ｑ＝（−１±ｉ±ｊ±ｋ）／２の９個

９）ｎ＝１０のとき

　　ｑ＝±１の２個

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