３次元空間における任意の軸のまわりの回転は，次式で表される．

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【１】回転行列

　単位ベクトル

　　ｎ↑＝（α,β,γ）　　　α，β，γは方向余弦で，α^2+β^2+γ^2＝１を満たすものとする．

　それを回転軸とし，その周りに正の回転方向にθだけ回転する回転行列

　　R(1,1)=α^2(1-cosθ)+cosθ

　　R(2,2)=β^2(1-cosθ)+cosθ

　　R(3,3)=γ^2(1-cosθ)+cosθ

　　R(1,2)=αβ(1-cosθ)+γsinθ

　　R(2,1)=αβ(1-cosθ)-γsinθ

　　R(1,3)=αγ(1-cosθ)-βsinθ

　　R(3,1)=αγ(1-cosθ)+βsinθ

　　R(2,3)=βγ(1-cosθ)+αsinθ

　　R(3,2)=βγ(1-cosθ)-αsinθ

で与えられる．

　θ→−θとした公式もある．その場合，ｃｏｓθ→ｃｏｓθ，ｓｉｎθ→−ｓｉｎθとなる．

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　ｎ↑＝（−１，０，０）とすると

　　R(1,1)=(1-cosθ)+cosθ＝１

　　R(2,2)=cosθ

　　R(3,3)=cosθ

　　R(2,3)=-sinθ

　　R(3,2)=sinθ

＝［１，０，０］

　［０，ｃ，−ｓ］

　［０，ｓ，ｃ］

となり，ｚ軸を中心とする回転を表す式と一致する．

　３次元空間の図形なら，この行列による１回の変換だけでどの方向にも向けることができる．すなわち，３次元正規直交行列のうち軸を反転しないものはすべてこの形に書き表すことができるのである．

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