平面の回転を表す

　　ｃｏｓθ＋１ｓｉｎθ

と同じ役割をする四元数を考える．

　回転軸

　　λｉ＋μｊ＋νｋ

はＯの回りに角θだけ回転する場合，空間の回転は四元数

　　ｃｏｓ（θ／２）＋（λｉ＋μｊ＋νｋ）ｓｉｎ（θ／２）

によって表される．

　空間の回転を表す四元数表示である．一見したところ，θ／２は間違いのように見えるかもしれないが，そうではない．以下の例で示そう．

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　実部をｗ，虚部をｖとし，

　　　ｑ1＝ｗ1＋ｘ1ｉ＋ｙ1ｊ＋ｚ1ｋ＝（ｗ1，ｖ1）

　　　ｑ2＝ｗ2＋ｘ2ｉ＋ｙ2ｊ＋ｚ2ｋ＝（ｗ2，ｖ2）

と表すことにすると，

　　ｑ1＋ｑ2＝（ｗ1＋ｗ2，ｖ1＋ｖ2）

　　ｑ1・ｑ2＝（ｗ1ｗ2−（ｖ1・ｖ2），ｗ1ｖ2＋ｗ2ｖ1＋（ｖ1×ｖ2））

と表せる．

　ここで，３次元空間内の任意の点を位置ベクトルｐで表し，軸ｎの周りにθだけ回転したベクトルをＲpとし，Ｒpをｐ，ｎ，θを用いて表そう．

　　ｎに直交するベクトル：ｑ＝ｐ−（ｐ・ｎ）ｎ

　　ｎとｐの外積：ｒ＝ｎ×ｑ＝ｎ×ｐ

とすると

　　Ｒp ＝ｃｏｓθｑ＋ｓｉｎθｒ＋（ｎ・ｐ）ｎ

　　　　＝ｃｏｓθｐ＋（１−ｃｏｓθ）（ｎ・ｐ）ｎ＋ｓｉｎθ（ｎ×ｐ）

がわかる．

　次に，単位四元数ｑ＝（ｗ，ｖ）＝（ｃｏｓη，ｓｉｎηｎ）を用いた変換

　　Ｒp（ｈ）＝ｑ・ｈ・ｑ~

を考える．ｑ~＝（ｗ，−ｖ）

　ｐを四元数の虚部とみなすと，

　　Ｒp（ｐ）＝ｑ・ｐ・ｑ~＝（ｗ，ｖ）・（０，ｐ）・（ｗ，−ｖ）

　＝（０，（ｗ^2−｜ｖ｜^2）ｐ＋２（ｐ・ｖ）ｖ＋２ｗ（ｖ×ｐ））

　＝ｃｏｓ２ηｐ＋（１−ｃｏｓ２η）（ｎ・ｐ）ｎ＋ｓｉｎ２η（ｎ×ｐ）

　したがって，θ＝２ηとおけば，軸ｎ周りのθ回転は単位四元数

　　ｑ＝（ｃｏｓθ／２，ｓｉｎθ／２ｎ）

で簡単に表せることがわかる．

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