｜ａ｜・｜ｂ｜＝｜ｃ｜，すなわち，平方数の和が積の演算で閉じていることを示す

（ａ1^2＋ａ2^2＋・・・＋ａn^2）（ｂ1^2＋ｂ2^2＋・・・＋ｂn^2）＝（ｃ1^2＋ｃ2^2＋・・・＋ｃn^2）

の恒等式は，ｎ＝１，２，４，８に対してだけ満たされるという驚くべき結果が１９世紀末，フルヴィッツにより証明されています（１８９８年）．

　したがって，ある条件のもとで，数の体系は八元数までですべてであることが知られていて，数の系列は実数（一元数）→複素数（二元数：ガウス）→四元数（ハミルトン）→八元数（ケイリー）というようになっているのです．

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［まとめ］

　フルヴィッツの有名な定理は，Ｒ，Ｃ，Ｈ，Ｏがそのような環のすべてであることを主張するものですが，その証明については

　　コンウェイ，スミス「四元数と八元数」，培風館

をご参照ください．

　これらの環がモゥファン・ループになり，八元数に特記すべき三対対称性が現れるのである．三対性は双対性（duality）に対するもので，（triality）の訳であろう．

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