［２］ケイリー整数とＥ8格子

　八元数Σａjｅjにおいて，係数ａj(j=0~7)が

　　1)整数値をとるもの

をグレーブス整数と呼びます．さらに

　　2)半整数値の奇数倍をとるもの

　　3)４個が整数値，４個が半整数値の奇数倍をとるもの

を加えて，「ケイリーの（八元）整数」と呼びます．

　半整数値をとる座標は０個か４個か８個です．ただし，3)において整数である番号は（ｉ，ｊ，ｋ）７組に０（実数）を加えた集合および（０〜７）に対するその補集合の１４組に限ります．

　このような点をすべてとると，８次元空間内で隣り合う２点間の距離がすべて１の格子ができあがります．原点に隣接する点は２４０個あり，それらと原点を結ぶベクトルが例外型リー環のＥ8ルート系を表すので，この格子をＥ8格子といいます．

　Ｅ8格子にはほかにもいくつかの構成法があり，ここではケイリー整数との関連で説明しましたが，その配列は本質的にはこの形しかありません．Ｓ^7の上の２４０個の点は直交変換で互いに移りうる点の組を同じものとみなすと一意なのです．

　そして，８次元空間において，２個の正軸体（正８面体の拡張）と１個の正単体（正４面体の拡張）を組み合わせると空間充填形ができるのですが，ケイリー整数の作る格子がその具体形になっていて，Ｅ8はＡ8とＤ8両方を含んでいるというわけです．

　なお，Ｅ8格子において，原点からの距離が√ｎである格子点の個数は

　　２４０σ3（ｎ）

（ここで，σ3（ｎ）はｎの約数の３乗の和）と表せることが知られています．すなわち，

　　ｎ＝１（１^1，０^7）（1/2^4，０^4）　→　２４０・１^3＝２４０個

　　ｎ＝２（１^2，０^6）（1/2^4，１^1，０^3）（1/2^8）　→　２４０・（１^3＋２^3）＝２１６０個

　　ｎ＝３　→　２４０・（１^3＋３^3）＝６７２０個

　　ｎ＝４　→　２４０・（１^3＋２^3＋４^3）＝１７５２０個

　　ｎ＝５　→　２４０・（１^3＋５^3）＝３０２４０個

　こうして，ケイリー単数は２４０個あることがわかります．

　　±（０），±（１），±（２），±（３），±（４），±（５），±（６），±（７）　　　１６個

と（ｉ，ｊ，ｋ）７組に０（実数）を加えた集合および（０〜７）に対するその補集合の１４組のあらゆる符号の組合せ

　　１／２（±０±ｉ±ｊ±ｋ）　　　１４・１６個

　ケイリーの整数の素因数分解では，フルヴィッツ整数のように単数転移だけでは一意的ではなく，結合法則の欠如も考慮しなければなりません．ＰＵ・Ｕ1^(-1)ＱがＰＱに等しいとは限らないのです．しかしながら，たとえば，Ｐ1（（Ｐ2Ｐ3）Ｐ4）と（Ｐ1Ｐ2）（Ｐ3Ｐ4）の間の関係づけの正当化（メタ転移）を要求することによって一意的にできるのです．

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