【補】有限射影平面

　１本の直線上にｎ個の点があるアフィン平面をｎ次のアフィン平面と呼びます．有限アフィン平面Ｆq×Ｆqは

　　｛（ｘ，ｙ）｜ａｘ＋ｂｙ＝ｃ，ａ，ｂ，ｃ，ｘ，ｙはＦqに属する｝

で定義されるものです．ｎ次のアフィン平面では１点を通る直線はｎ＋１本で，ｎ^2個の点がありますから，全部で

　　ｎ^2（ｎ＋１）／ｎ＝ｎ（ｎ＋１）

本の直線があります．

　最も簡単な有限アフィン平面はＺ2×Ｚ2で，４個の点を四面体状に結んだものです．また，ｎ次のアフィン平面上では平行な直線はｎ本あり，平行な直線同士を集めた組がｎ＋１組あります．

　アフィン平面では平行な直線が存在しましたが，しかし，すべての直線が交点をもつとしても矛盾を生じない幾何学の体系を考えることができます．アフィン平面に無限遠点，無限遠直線を加えて完備化すると射影平面が得られますが，完備化により点の数がｎ＋１個，直線が１本増えます．したがって，ｎ次射影平面における点の数はｎ^2＋ｎ＋１，直線の数もｎ（ｎ＋１）＋１＝ｎ^2＋ｎ＋１で等しくなります．

　これを

　　ｑ＝ｎ^2＋ｎ＋１

とおきますが，たとえば，２次の射影平面は７つの点，７本の直線よりなり，このことが射影平面の双対性と結びついてきます．

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　最も簡単な射影平面は，有限体Ｚ2上の２次元射影幾何であって，ファノ平面と呼ばれています．そして，７個の点ｐ1〜ｐ7を（１〜７）と略記することにして，例えば，７本の直線上の３点の組を（１，２，３），（１，４，５），（１，６，７），（２，４，６），（２，５，７），（３，４，７），（３，５，６）の７組の体系は射影幾何の公理系を満たすことになります．

　そして，ｑ行ｑ列の行列Ａ＝｛ａij｝を

　　ａij＝１・・・直線ｌiが点ｐjを通るとき

　　　　　０・・・そうでないとき

と定めると，成分が０か１の行列を得ることができます．

　　　　［１，１，１，０，０，０，０］

　　　　［１，０，０，１，１，０，０］

　　　　［１，０，０，０，０，１，１］

　　Ａ＝［０，１，０，１，０，１，０］

　　　　［０，１，０，０，１，０，１］

　　　　［０，０，１，１，０，０，１］

　　　　［０，０，１，０，１，１，１］

　この結合組の例では対称行列になりましたが，一般的には対称行列とはなりません．また，この行列では，各点は３本の直線に含まれるので，各行には１が３回現れます．また，各直線は３個の点を通るので，各列にはやはり１が３回現れます．そして，すべての成分が１である行列をＪとすると，行列Ａは

　　　　　　　　　　［３，１，１，１，１，１，１］

　　　　　　　　　　［１，３，１，１，１，１，１］

　　　　　　　　　　［１，１，３，１，１，１，１］

　　Ａ’Ａ＝ＡＡ’＝［１，１，１，３，１，１，１］

　　　　　　　　　　［１，１，１，１，３，１，１］

　　　　　　　　　　［１，１，１，１，１，３，１］

　　　　　　　　　　［１，１，１，１，１，１，３］

　　　　　　　　［３，３，３，３，３，３，３］

　　　　　　　　［３，３，３，３，３，３，３］

　　　　　　　　［３，３，３，３，３，３，３］

　　ＡＪ＝ＪＡ＝［３，３，３，３，３，３，３］

　　　　　　　　［３，３，３，３，３，３，３］

　　　　　　　　［３，３，３，３，３，３，３］

　　　　　　　　［３，３，３，３，３，３，３］

となります．Ａ’は直線と点を入れ替えた双対射影平面です．

　ここでは２次の射影平面の場合でしたが，ｎ次の射影平面の場合，対角成分はｎ＋１となります．対角成分はｐiを通る直線の数，非対角成分はｐi，ｐjを通る直線の数を表しているというわけです．

　射影幾何学の有名な定理：デザルグの定理やパップスの定理は有限射影平面でも成立します．なお，ｎ＝４ｋ＋１，４ｋ＋２の場合にｎ次の射影平面が存在すれば，

　　ｎ＝ｘ^2＋ｙ^2

となる整数が存在するということも証明されています．このことからｎ＝６，１４，２１，２２，・・・の場合，ｎ次の射影平面が存在しないことがわかります．

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