【２】八元数

　ハミルトンの有名な四元数は複素数の拡張ですが、さらに、イギリスの数学者ケイリーによって８個の基底元１，ｉ，ｊ，ｋ，ｌ，ｍ，ｎ，ｏをもつ代数＜八元数＞も発明されました（１８４５年）。

　　ｉ^2＝ｊ^2＝ｋ^2＝ｌ^2＝ｍ^2＝ｎ^2＝ｏ^2＝−１，

　　ｉ＝ｊｋ＝ｌｍ＝ｏｎ＝−ｋｊ＝−ｍｌ＝−ｎｏ，

　　ｊ＝ｋｉ＝ｌｎ＝ｍｏ＝−ｉｋ＝−ｎｌ＝−ｏｍ，

　　ｋ＝ｉｊ＝ｌｏ＝ｎｍ＝−ｊｉ＝−ｏｌ＝−ｍｎ，

　　ｌ＝ｍｉ＝ｎｊ＝ｏｋ＝−ｉｍ＝−ｊｎ＝−ｋｏ，

　　ｍ＝ｉｌ＝ｏｊ＝ｋｎ＝−ｌｉ＝−ｊｏ＝−ｎｋ，

　　ｎ＝ｊｌ＝ｉｏ＝ｍｋ＝−ｌｊ＝−ｏｉ＝−ｋｍ，

　　ｏ＝ｎｉ＝ｊｍ＝ｋｌ＝−ｉｎ＝−ｍｊ＝−ｌｋ

　ハミルトンの四元数は乗法の交換法則を満たさない非可換体（斜体）

　　ａｂ≠ｂａ

ですが，八元数ではさらに乗法の結合法則も破れています．

　　ａ（ｂｃ）≠（ａｂ）ｃ

しばしば「ケイリー数体」と呼ばれますが，厳密にいうと体ではなく「体もどき」ということになります．さらに、１６個の基底元をもつ同様の代数を構成しようと試みられましたが、それは成功するはずはありませんでした。

　八元数は，実数単位ｅ0と７個の虚数単位ｅi(i=1~7)による一次結合Σａjｅjで表されますが，

　　ｅ0ｅi＝ｅiｅ0＝ｅi，ｅi^2＝−１，ｅiｅj＝−ｅjｅi

はよいとしても，

　　ｅiｅj＝＋ｅk・・・交換則

　　ｅiｅj＝−ｅk・・・反交換則

の組合せは様々です．

　また，結合法則に関しても

　　（ｅiｅj)ｅk＝＋ｅi（ｅjｅk）・・・結合則

　　（ｅiｅj)ｅk＝−ｅi（ｅjｅk）・・・反結合則

の２つの場合があります．

　　（ｅiｅj)ｅk＝＋ｅi（ｅjｅk）・・・結合則

は（ｉ，ｊ，ｋ）のなかに０（実数）が含まれるときと同一の番号があるときには常に成立しますが，（ｉ，ｊ，ｋ）が１〜７のうちですべて異なるときは必ずしも成り立ちません．

　そこで，［補］に掲げる例：（ｉ，ｊ，ｋ）＝（１，２，３），（１，４，５），（１，６，７），（２，４，６），（２，５，７），（３，４，７），（３，５，６）の場合に結合則を満たすものと決めます．この７組は３ビットの２進数で表し，各々のビットの排他的論理和をとると０になるので便利です．

　　（１，２，３）＝（001，010，011）＝０

　　（１，４，５）＝（001，100，101）＝０

　　（１，６，７）＝（001，110，111）＝０

　　（２，４，６）＝（010，100，110）＝０

　　（２，５，７）＝（010，101，111）＝０

　　（３，４，７）＝（011，100，111）＝０

　　（３，５，６）＝（011，101，110）＝０

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