■多元数（その５）
［２］フルヴィッツの整数とＤ4格子
四元整数（リプシッツの整数）に
（１＋ｉ＋ｊ＋ｋ）／２
を追加した数の体系を「フルヴィッツの整数」と呼びます．ａ，ｂ，ｃ，ｄのすべてが整数か，あるいはすべてが半整数のとき，フルヴィッツの整数なのです．フルヴィッツの整数全体は整数座標点と半整数座標点からなりますので，４次元体心立方格子であるというわけです．
なお，
（１＋ｉ＋ｊ＋ｋ）／２
は１の原始６乗根であり，
ζ＝ζ++++＝（１＋ｉ＋ｊ＋ｋ）／２
とおくと，
ζ^2＝ζ-+++，ζ^3＝−１，ζ^4＝ζ----，ζ^5＝ζ+---，ζ^6＝１
となります．
フルヴィッツ単数すなわち１の約数は，
±１，±ｉ，±ｊ，±ｋ ８個
ζ±±±±のあらゆる符号の組合せ（±１±ｉ±ｊ±ｋ）／２をとった１６個
の計２４個あります．
四元数ではかけ算の交換法則は成り立ちませんから，Ｐを２つのフルヴィッツ整数の積で表す方法は単数Ｕを右からかけるＰ＝Ｐ’Ｕ，単数Ｖを左からかけるＰ＝ＶＰ”の２通りあります．Ｐがフルヴィッツ素数のときの素因数分解はＵ，Ｖを２４個のフルヴィッツ単数上を動かしたときの
Ｐ＝ＰＵ^(-1)・Ｕ，Ｐ＝Ｖ・Ｖ^(-1)Ｐ
だけです．
したがって，Ｑのフルヴィッツ素数への分解
Ｑ＝Ｐ0Ｐ1・・・Ｐk
があるとき，
Ｑ＝Ｐ0Ｕ1・Ｕ1^(-1)Ｐ1Ｕ2・・・Ｕk^(-1)Ｐk
も素因数分解となります．このような単数転移を除いて，フルヴィッツの整数においても素因数分解の一意性が成立します．それに対して，リプシッツ整数の分解は一意ではありません．
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
［３］Ｄ4格子の第ｎ近接
この２４個の単数は４次元空間で正２４胞体をなしています．正２４胞体に相当する３次元正多面体はありません．なぜかというと，正２４胞体は自己双対かつ中心対称であり，３次元空間でそれに対応する正多面体はないからです．実は２４胞体は，すべての次元を通じて，単体以外の唯一の自己双対な正則胞体であって，例外中の例外といってもよいものなのです．
この２４胞体の対称性を，鏡映で生成される既約な有限群（ルート系）との関係でみても興味深いものがあります．ｎ次元空間において高度の対称性をもったベクトルの集合がルート系なのですが，ｎ次元正単体とｎ次元立方体の対称群は，それぞれＡn-1，Ｂn（Ｃn）で表されます．それに対して，２４胞体は１つの例外型対称群Ｆ4をもつことが知られています．
２個の正２４胞体を中心を一致させて重ねて回転させます．これはちょうど平面上でダビデの星が２つの正六角形を３０°ずらして重ねたものと似ているわけですが，この対称性がＦ4に相当します．正２４胞体は単体以外の唯一の自己双対な正則胞体であるという事実がＦ4と関係しているのですが，この点もまた注目すべきものでしょう．
なお，正２４胞体による空間充填は４次元独特の充填形です．正２４胞体の頂点は正８胞体と正１６胞体の頂点をなしますから，正２４胞体は３次元の菱形１２面体に対応するものであって，正２４胞体による４次元空間充填形は４次元版の菱形１２面体による空間充填形に相当します．すなわち，それは４次元の面心立方格子といってよいものであって，正２４胞体に含まれる正１６胞体は互いに６０°をなしますから，Ｄ4の３対性をもっているのですが，４次元の最密正則胞体充填構造Ｄ4は正２４胞体で埋めつくされているときであることが知られています．
Ｄ4格子（＝Ｆ4格子）は４次元の体心立方格子であり，正２４胞体による４次元空間の充填形に相当するものです．ここで，σ0（ｎ）をｎの奇数の約数の和と定義します．そうすればＤ4格子では原点からのノルムがｎである点の個数が
２４σ0（ｎ）
で与えられるのですが，
ｎ＝１ → ２４・１＝２４個
ｎ＝２ → ２４・１＝２４個
ｎ＝３ → ２４・（１＋３）＝９６個
ｎ＝４ → ２４・１＝２４個
ｎ＝５ → ２４・（１＋５）＝１４４個
ｎ＝６ → ２４・（１＋３）＝９６個
ｎ＝７ → ２４・（１＋７）＝１９２個
ｎ＝８ → ２４・１＝２４個
ｎ＝９ → ２４・（１＋３＋９）＝３１２個
ｎ＝10 → ２４・（１＋５）＝１４４個
さらに，Ｄ4格子の各格子点の勢力範囲が１／２であることを使うと
Σ１／ｎ^2＝π^2／６
を証明できます．同様に，例外型リー環に属する８次元のＥ8格子では
２４０σ3（ｎ）
であり，勢力域の体積が１／１６であることから
Σ１／ｎ^4＝π^4／９０
を得ることができます．
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
