サッカーボールには１２個の五角形と２０個の六角形が配置されている．五角形と六角形を組み合わせて近似球面構造を作るとき，六角形の数には制限はないが，オイラーの公式により，五角形の数は常に１２となることが証明される．

［Ｑ］証明せよ

　特別に六角形の数を０とすると正１２面体ができる．正１２面体は空間充填多面体ではないが，立方体とＪ91を組み合わせると空間充填可能になる．

　一方，菱形１２面体は立方体のように空間を埋め尽くすことができる．菱形１２面体は頂点数１２，辺数２４，面数１２の菱形多面体であるが，同じ頂点数１２，辺数２４，面数１２の空間充填多面体に菱形台形１２面体がある．

　菱形１２面体は面心立方格子（ＦＣＣ）のボロノイ図形であるに対して，菱形台形１２面体は六腑細密充填構造（ＨＣＰ）のボロノイ図形である．

［Ｑ］これら以外に頂点数１２，辺数２４，面数１２の空間充填多面体は存在するだろうか？

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