■n=□+□+□+□(その28)
[Q]6を平方数の和に表す方法は何通りあるか?
[A]1+1+1+1+1+1,1+1+4の2通り
と答えるのが普通であろう.しかし,・・・
[Q]6を24個の平方数の和に表す方法は何通りあるか?
[A]r24(6)=8662770
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rk(n)をk個の平方数の和としてnを表す方法の個数とする.ただし,
4=(±1)^2+(±1)^2+(±1)^2+(±1)^2 16通り
4=(±2)^2+0^2+0^2+0^2 +8通り
のように,0^2を許容し,さらに,a^2と(−a)^2を異なる方法として数える.また,順序が異なるもの(a^2+b^2とb^2+a^2)を区別して数えることにすると,モジュラー形式の理論を用いることができる.
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[1]モジュラー形式
zが上半平面上を動く変数であるとき,
q(z)=exp(2πiz)
は原点を中心として半径1の単位円板から原点を除いた穴あき単位円板上を動く.
exp(−iθ)=cosθ+isinθ
exp(−πi)=−1
exp(−2ππ)=1
より
q(z+1)=q(z)
すなわち,周期1をもつという性質がある.
さらに,
a0+a1q+a2q^2+・・・+anq^n+・・・
a-mq^ーm+・・・+a-1q^ー1+a0+a1q+a2q^2+・・・+anq^n+・・・
は,周期1をもつ上半平面上の関数である.
f(z)がy→∞のとき,良い振る舞いをすると仮定すると
f(z)=a0+a1q+a2q^2+・・・+anq^n+・・・
f(z+1)=f(z)
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