自然数ｎを4個の平方和で表す方法について考える。

　４＝（±１）^2＋（±１）^2＋（±１）^2＋（±１）^2　　　１６通り

　４＝（±２）^2＋０^2＋０^2＋０^2　　　　　　　　　　　　＋８通り

のように，４個の平方数による分割

　　ｎ＝ｘ1^2＋ｘ2^2＋ｘ3^2＋ｘ4^2

の解の個数をＲ（ｎ）で表せば，１８２９年，ヤコビは

　　Ｒ（ｎ）＝　８Σ（２ｄ＋１）　　　ｎ＝１（mod 2）

　　Ｒ（ｎ）＝２４Σ（２ｄ＋１）　　　ｎ＝０（mod 2）

　　　Σは（２ｄ＋１）｜ｎをわたる

を示しました．

すなわち、

ｎが奇数のときはｎの正の奇約数の和の8倍

ｎが偶数のときはｎの正の奇約数の和の24倍

　この出発点となった考え方は，

　　{Σq^(n^2)}^4=ΣR(n)q^n

　　 =1+8nq^n/(1-q^n)

の２つの表現のq^nの係数を比較することであって，Σq^(n^2)はテータ関数です．Ｒ（ｎ）を求めるのにヤコビはテータ関数を用いたのですが，それ以来，モジュラー形式などの解析的理論が数論へ応用されるようになり，ヤコビは２，４，６，８個の平方の和に分解する仕方の数，エルミートは３，５個の平方の和に分解する仕方の数を得ています．

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