どの三角数Ｔnに対しても，ＴnＴmが平方数となるＴmが無限に存在する．

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　　ｎ（ｎ＋１）ｍ（ｍ＋１）＝４Ｌ^2

　　ｍ（ｍ＋１）＝４Ｌ^2／ｎ（ｎ＋１）

　　４ｍ^2＋４ｍ＋１＝１６Ｌ^2／ｎ（ｎ＋１）＋１

　　（２ｍ＋１）^2＝１６Ｌ^2／ｎ（ｎ＋１）＋１

　定められたｎに対してｎ（ｎ＋１）は偶数であるから，

　　１６Ｌ^2／ｎ（ｎ＋１）＝８ｘ^2

なるｘを適宜設定することができる．→ペル方程式：８ｘ^2＋１＝ｙ^2に帰着．

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［おまけ］Ｔn＝ｎ^2−（ｎ−１）^2＋（ｎ−２）^2−（ｎ−３＋・・・±１

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