任意の４乗数は２つの三角数の和で表されることを証明したいのであるが，任意の平方数は２つの連続した三角数の和で表される．

　　Ｔn＋Ｔn-1＝ｎ^2

　　（Ｔn＋Ｔn-1）^2＝ｎ^4

　また，

　　（Ｔn）^2＝Ｔn＋Ｔn-1Ｔn+1

　　２ＴnＴn-1＝Ｔn^2-1

より，

　　（Ｔn＋Ｔn-1）^2＝（Ｔn）^2＋（Ｔn-1）^2＋Ｔn^2-1＝ｎ^4

＝Ｔn＋Ｔn-1Ｔn+1＋Ｔn-1＋Ｔn-2Ｔn＋Ｔn^2-1

＝Ｔn（１＋Ｔn-2）＋Ｔn-1（Ｔn+1＋１）＋Ｔn^2-1

　　Ｔn-2＋１＝（ｎ−２）（ｎ−１）／２＋１＝（ｎ^2−３ｎ＋４）／２

　　Ｔn+1＋１＝（ｎ＋１）（ｎ＋２）／２＋１＝（ｎ^2＋３ｎ＋４）／２

　　Ｔn^2-1＝（ｎ^2−１）ｎ^2／２

　　Ｔn（１＋Ｔn-2）＝ｎ（ｎ＋１）（ｎ^2−３ｎ＋４）／４

＝ｎ（ｎ^3−２ｎ^2＋ｎ＋４）／４

　　Ｔn-1（Ｔn+1＋１）＝ｎ（ｎ−１）（ｎ^2＋３ｎ＋４）／４

＝ｎ（ｎ^3＋２ｎ^2＋ｎ−４）／４

　　Ｔn（１＋Ｔn-2）＋Ｔn-1（Ｔn+1＋１）＝ｎ^2（ｎ^2＋１）／２

　これは三角数

　　Ｔn^2＝（ｎ^2＋１）ｎ^2／２

であるから，

　　ｎ^4＝Ｔn^2-1＋Ｔn^2

となった．

　　７^4＝Ｔ48＋Ｔ49＝２４０１

　（その１０）の

　　７^4＝Ｔ41＋Ｔ55≠２４０１

とは食い違いをみせたが，任意の４乗数は２つの三角数の和で表されることが証明された．

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［まとめ］

　　ｎ^4＝ｎ^2（ｎ^2−１）／２＋ｎ^2（ｎ^2＋１）／２

　　□^2＝△＋△

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