図形数を拡張するする方向として，ひとつには高次元化すること

［１］三角数ｎ（ｎ＋１）／２

［２］四面体数ｎ（ｎ＋１）（ｎ＋２）／６

［３］五胞体数ｎ（ｎ＋１）（ｎ＋２）（ｎ＋３）／２４

［４］六房体数ｎ（ｎ＋１）（ｎ＋２）（ｎ＋３）（ｎ＋４）／１２０

　もう一つには指数を大きくすること

［１］三角数ｎ（ｎ＋１）／２

［２］四角数ｎ^2＝ｎ（２ｎ−０）／２

［３］五角数ｎ^2＝ｎ（３ｎ−１）／２

［４］六角数ｎ（４ｎ−２）／２

［５］七角数ｎ（５ｎ−３）／２

［６］八角数ｎ（６ｎ−４）／２

である．

　五角数と三角数との関係では

　　Ｐn＝Ｔ2n-1−Ｔn-1，Ｐn＝Ｔ3n-1／３

　六角数と三角数との関係では

　　Ｈn＝Ｔn-1＋ｎ

となることは高校生でも計算できるだろう．

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２１０は三角数Ｔ20であると同時に五角数Ｐ12でもある．しかし六角数ではない．４０７５５は三角数であり，五角数Ｐであり，さらに六角数でもある最小の数である（１は除く）．

　Ｔ39＝７８０とＴ44＝９９９は下から２番目に小さい足しても引いても三角数になる三角数である．

　　７８０＋９９０＝１７７０＝Ｔ59

　　９９０−７８０＝２１０＝Ｔ20

　１７４７５１５と２１８５０９５は下から３番目に小さい足しても引いても三角数になる三角数である．

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