三角数Ｔn＝Ｓ（１，ｎ）＝Σｋ＝ｎ（ｎ＋１）／２である．これを拡張する方向としては，一つには指数を大きくすること，もう一つには図形数としての次数を増すことである．

　前者は

Ｓ（１，ｎ）＝Σｋ＝ｎ（ｎ＋１）／２

Ｓ（２，ｎ）＝Σｋ^2＝ｎ（ｎ＋１）（２ｎ＋１）／６

Ｓ（３，ｎ）＝Σｋ^3＝ｎ^2（ｎ＋１）^2／４

Ｓ（４，ｎ）＝Σｋ^4＝ｎ（ｎ＋１）（２ｎ＋１）（３ｎ^2＋３ｎ−１）／３０

Ｓ（５，ｎ）＝Σｋ^5＝ｎ^2（ｎ＋１）^2（２ｎ^2＋２ｎ−１）／１２

Ｓ（６，ｎ）＝Σｋ^6＝ｎ（ｎ＋１）（２ｎ＋１）（３ｎ^4＋６ｎ^3−３ｎ＋１）／４２

Ｓ（６，ｎ）＝Σｋ^7＝ｎ^2（ｎ＋１）^2（３ｎ^4＋６ｎ^3−ｎ^2−４ｎ＋２）／２４

　後者は

三角数：ｎ（ｎ＋１）／２

四角数：ｎ（２ｎ−０）／２＝ｎ^2

五角数：ｎ（３ｎ−１）／２

六角数：ｎ（４ｎ−２）／２＝ｎ（２ｎ−１）

七角数：ｎ（５ｎ−３）／２

八角数：ｎ（６ｎ−４）／２＝ｎ（３ｎ−２）

・・・・・・・・・・・・・

　たとえば，六角数をＨnとすると

　　Ｈn＝４Ｔn-1＋ｎ＝２ｎ（ｎ−１）＋ｎ＝ｎ（２ｎ−１）

が成り立つ．

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