どんな正の整数も４つの平方和によって表すことができる。

　ある数ｎが４個の平方数の和として表されるとき，いくつの異なった方法でこれを表すことができるか？

　を尋ねることは興味深い．

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　ｒk（ｎ）をｋ個の平方数の和としてｎを表す方法の個数とする．ただし，

　４＝（±１）^2＋（±１）^2＋（±１）^2＋（±１）^2　　　１６通り

　４＝（±２）^2＋０^2＋０^2＋０^2　　　　　　　　　　　　＋８通り

のように，０^2を含め，さらに，ａ^2と（−ａ）^2を異なる方法として数える．また，順序が異なるもの（ａ^2＋ｂ^2とｂ^2＋ａ^2）を区別して数えることにする．

　ｒ2（０）は，０＝０^2＋０^2しかないからｒ2（０）＝１

　ｒ2（１）は，１＝（±１）^2＋０^2

すなわち，１＝１^2＋０^2＝０^2＋１^2＝（−１）^2＋０^2＝０^2＋（−１）^2より，ｒ2（１）＝４

　ｒ4（４）＝２４

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　順列・符号・０を含むヤコビによる解答は4で割り切れないｎの約数の8倍

　　ｒ4（ｎ）＝８Σｄ

というものであった。

　ｒ4（４）＝８（１＋２）＝２４

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　ｒ4（２）＝８（１＋２）＝２４

（±１、±１、０，０）の順列であるから、

２＝１^2＋１^2＋０^2＋０^2

２＝１^2＋（−１）^2＋０^2＋０^2

２＝１^2＋０^2＋１^2＋０^2・・・など２４通り

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しかしながら、いろいろな公式があり、

[1]ｒ2（ｍ）＝４δ（ｍ）・・・4ｎ+1型の約数の数と4ｎ+3型の約数の数の差

[2]ｒ4（ｍ）＝８Σｄ・・・ｍが奇数のとき、ｍの約数の8倍

[3]ｒ4（ｍ）＝２４Σｄ・・・ｍが偶数のとき、ｍの奇約数の24倍

[4]ｒ8（ｍ）＝１６Σ（-1）^m-d（ｄ）^3・・・ｍが約数の3乗和の16倍

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ｒ'4（ｍ）=ｒ4（ｍ）/8と定義すると,(l,m)＝1のとき、

[5]ｒ'4（ｌｍ）＝ｒ'4（ｌ）ｒ'4（ｍ）

[6]ｒ'4（2^a）＝3

[7]ｒ'4（p^a）＝1+p+p^2+・・・+p^a

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