［３］ラグランジュの定理（４平方和定理）

　また，前述の数値実験から「すべての正の整数は，４個の平方数の和として表すことができるだろうか？」というより高度な問題が派生します．実は，

　　「すべての正の整数は４個の整数の平方和で表される」

というのが，ラグランジュの定理なのですが，驚くべきことに，７のみならず任意の自然数はたった４つの平方数の和の形に表せるのです．

　　７＝２^2＋１^2＋１^2＋１^2

　　２＝１^2＋１^2＋０^2＋０^2

このことを，シンボリックに書くと

　　ｎ＝□＋□＋□＋□

となります．□は平方数の意味です．

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　オイラーはこの定理の直前まで行きながら，最後の段階で成功しませんでした．ラグランジュはオイラーの研究成果からアイデアを得て，１７７２年，最後の段階を突破したのですが，その証明中で用いられる基本公式は

　　ｘ＝ａｐ＋ｂｑ＋ｃｒ＋ｄｓ，

　　ｙ＝ａｑ−ｂｐ＋ｃｓ−ｄｒ，

　　ｚ＝ａｒ−ｂｓ−ｃｐ＋ｄｑ，

　　ｗ＝ａｓ＋ｂｒ−ｃｑ−ｄｐ

とおくと

　　（ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2＋ｄ^2）（ｐ^2＋ｑ^2＋ｒ^2＋ｓ^2）＝ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2＋ｗ^2

が成り立つというもので，１７４８年にオイラーによって証明されています．

　この基本公式はハミルトンの４元数（１８４３年）を使ったうまい方法でも証明されますが，それにしても，オイラーはこれをどのようにして発見したのでしょう？　なお，四元数は複素数に似ていますが，ただ１つではなく３つの虚数をもつ数体系で，

ｉ^2＝−１，ｊ^2＝−１，ｋ^2＝−１，ｉｊ＝ｋ，ｊｋ＝ｉ，ｋｉ＝ｊ，ｊｉ＝−ｋ，ｋｊ＝−ｉ，ｉｋ＝−ｊ

なる性質をもち，

　（ｘ＋ｙｉ＋ｚｊ＋ｗｋ）（ｘ−ｙｉ−ｚｊ−ｗｋ）＝ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2＋ｗ^2

となります．

　ここに掲げた基本公式は，４つの平方数の和となっている数は積の演算で閉じていること，すなわち，ｎ1，ｎ2が４つの平方数の和ならば，ｎ1ｎ2もそうであることを示しています．これにより，ラグランジュの定理を証明するには，すべての素数ｐが４つの平方数の和であるということの証明に帰着されることになります．また，

　　２＝１^2＋１^2＋０^2＋０^2

ですから，ｐは奇素数と仮定してもよいわけです．

　すべての奇素数ｐが４つの平方数の和であることの証明も，背理法の１種である無限降下法によって証明できるのですが，これについては他書に譲ることにします．

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