黄金比は正五角形と密接な関係にある．正五角形に対角線を書き入れると星形五角形できるが，この手順を繰り返すと，正五角形と星形五角形が少しずつ縮小しながら無限に入れ子状になった図形を作ることができる．正五角形に対角線を描き入れると星形五角形（ソロモンの星）ができるが，正五角形と星形五角形の入れ子はペンタグラムと呼ばれる．この図形が４次元正単体の２次元投影図であることを知っている人は少ないだろう．

　１辺の長さａの正五角形の面積は

　　（５／４）ａ^2ｔａｎ５４°

で与えられるが，三角比を使わなくても，黄金比を使って計算することができる．

　ペンタグラムの内側の正五角形の１辺の長さは，外側の正五角形形の１／φ^2＝（√５−１）^2／４＝０．３８倍，面積は１／φ^4＝０．１４５倍である．

　それに対して，白銀比は正八角形と密接な関係にある．正八角形に３／８角形を書き入れると正八角形できるが，この手順を繰り返すと，正八角形と星形８／３角形が少しずつ縮小しながら無限に入れ子状になった図形を作ることができる．この図形は４次元立方体の２次元投影図でもある．

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