３６０°という単語は全方位という意味で用いられる．単位円の円周２π＝３６０°であるから，本来は２次元人用の単語であると思われるが，３次元人が用いているわけであるから，４次元人が全方位という意味で用いる場合にはまったく意味をなさないと思われる．

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【１】ｎ次元超球

　球に相当するｎ次元の図形を超球と呼びます．ｎ次元単位超球{x1^2+x2^2+･･･+xn^2≦1}の体積をＶnとすると，Ｖ1=2（直径），Ｖ2=π（面積），Ｖ3=4π/3（体積）はご存知でしょう．ｎ次元単位球はどんなに次元が高くても，長さが２より大きな線分を含むことはできません．

　したがって，ｎ＝２，３，４では単位立方体（対角線の長さ√ｎ）は単位球体の中に含まれますが，ｎ≧５でははみ出る部分があり，次元とともにはみ出る部分が増えていきます．単位球体の直径は次元によらず２なのです．

　ｎ次元単位超球の体積Ｖn，その表面積を表面積Ｓn-1とすると，単位超球の表面積Ｓn-1はｎＶn，半径ｒのｎ次元球の体積はＶnｒ^n，表面積はｎＶnｒ^(n-1)となります．ｎ次元単位超球の体積Ｖnを求めてみると，

　　Ｖn=π^(n/2)/Γ(n/2+1)

を得ることができます．また，Γ(m+1)=m!より，この結果は，形式的に

　　Ｖn=π^(n/2)/(n/2)!

と書くことができます．

　Ｖn-1がわかれば，Ｖnは漸化式：

　　Ｖn/Ｖn-1=Γ(1/2)Γ{(n+1)/2}/Γ(n/2+1)=B(1/2,(n+1)/2)

によって求めることができますが，この計算は面倒ですから，Ｖn-2との漸化式

　　Ｖn/Ｖn-2=2π/n

を用いると任意のｎに対して

　　ｎが奇数であれば，Ｖn=2(2π)^((n-1)/2)/n!!

　　ｎが偶数であれば，Ｖn=(2π)^(n/2)/n!!

とも書けることも理解されます．１次元から６次元までを具体的に書けば，

　　Ｖn＝２，π，４π／３，π2／２，８π2／１５，π3／６

という具合に，πのべき乗は偶数次元になるたびに１つあがります．

　そして，ｎ→∞のとき，

　　Ｖn/Ｖn-2=2π/n→０

　　Ｓn-1/Ｓn-3=nＶn/(n-2)Ｖn-2=2π/(n-2)→０

ですから，不思議なことに，単位球面の体積や表面積はｎ→∞のとき０に収束するのです．

　ｎが整数のとき，実際にＶnの値を計算してみると，１次元から１４次元までの具体的数字は次の通りです．

ｎ Ｖn

１ 2

２ 3.14 　　π

３ 4.19 　　４π／３

４ 4.93 　　π^2／２

５ 5.263　　８π^2／１５

６ 5.167　　π^3／６

７ 4.72 　　１６π^3／１０５

８ 4.06 　　π^4／２４

９ 3.30 ３２π^4／９４５

10 2.55 π^5／１２０

11 1.88 ６４π^5／１０３９５

12 1.36 π^6／７２０

13 0.91 １２８π^6／１３５１３５

14 0.60 π^7／５０４０

　このように，超球の体積はｎ＝５のとき最大８π2／１５＝５．２６３７・・・となり，以後は次元とともにどんどん減少します．（次元を整数に限らなければ５．２５６次元で最大となり，そのときの体積は5.277･･･である．）

　幾何学では５，６次元を境にして本質的に様子が変わっていることが少なくないのですが，このことはその原因の一端をほのめかしていると考えられます．

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【２】ｎ次元用全方位

ｎ ｎＶn

１ ２＝１１４．５９２°

２ ２π＝３６０°

３ ４π＝７２０°

４ ２π^2＝１１３０．９７°

５ ８π^2／３＝１５０７．５３°

６ π^3＝１７７６．５３°

７ １６π^3／１５＝１８９４．９６°

８ π^4／３＝１８６０．３７°

９ ３２π^4／１０５＝１７００．９１°

10 π^5／１２＝１４６１．１３°

11 ６４π^5／９４５＝１１８７．４６°

12 π^6／６０＝９１８．０５５°

13 １２８π^6／１０３９５＝６７８．２７５°

14 π^7／７２０＝２４０．３４６°

　単位超球の表面積Ｓn-1＝ｎＶn，したがって，ｎ次元人用の全方位は

　　Ｓn-2＝（ｎ−１）Ｖn-1

である．

　４次元人が全方位という意味で用いる場合には４π＝７２０°を用いるべきである．また，４次元において３６０°は半方位という意味になり，全く役に立たないわけでもなさそうである．

　ガッツ石松のギャグではないが，全方位＜３６０°の世界は存在する．ただし，１４次元以上．

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