ａｒｃｔａｎｘ＝ｘ−１／３ｘ^3 ＋１／５ｘ^5 −１／７ｘ^7 ＋・・・

両辺にｘ＝１を代入すると，グレゴリー・ライプニッツ級数

π／４＝ａｒｃｔａｎ１＝１／１−１／３＋１／５−１／７＋・・・

が得られます．

　　ａｒｃｔａｎｘ＝ｘＦ（１／２，１，３／２：−ｘ^2）

＝ｘ／／１＋１^2ｘ^2／／３＋２^2ｘ^2／／５＋３^2ｘ^2／／７＋４^2ｘ^2／／９＋・・・

　ｘ＝１を代入すれば

　　π／４＝１／／１＋１／／３＋４／／５＋９／／７＋１６／９＋・・・

＝１／／１＋Φｋ^2／／（２ｋ＋１））＋・・・

を得ることができる．

　ｘ＝１／√３を代入すれば

　　π／２√３＝１／／１＋１／／９＋４／／５＋３／／７＋１６／／２７＋２５／／１１＋１２／／１３＋・・・

＝１／／１＋Φｋ^2／／（２ｋ＋１））＋・・・

を得ることができる．

　しかし，これから

　２π√２＝８（１＋１／３−１／５−１／７＋１／９＋１／１１−１／１３−１／１５＋・・・）

の連分数展開は得られない．

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