ｅ^π＞π^ｅは

　　ｇ（ｘ）＝ｌｏｇｘ／ｘ

において，

　　ｌｏｇｅ／ｅ＞ｌｏｇπ／π

であるから，

　　ｅ^π＞π^e

　実際に，ｇ（ｘ）＝ｌｏｇｘ／ｘのグラフを描いてみればｇ（ｘ）は幅のある最大値をもち，２つの式の値がほとんど同じくらいになることもわかるのである．

　　ｅ^π＝２３．１４０６９・・・≒π＋２０

　　π^e＝２２．４５９１５・・・

　　０＜（ｅ^π−π^e）＜１

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　１９９９年の東大入試問題に，

　　８＜∫ｅ^xｓｉｎ^2ｘｄｘ＜９

を証明して

　　ｅ^π＞２１

を示せという問題が出題されたという．

　　Ｅn＝∫(0,π)ｅ^xｓｉｎ^nｘｄｘ

とする．２回積分すると，

　　Ｅn＝ｎ∫(0,π)ｅ^x｛（ｎ−１）ｓｉｎ^n-2ｘ−ｓｉｎ^nｘ｝ｄｘ

　　　＝ｎ（ｎ−１）Ｅn-2＋ｎ^2Ｅn

を得る．

　　Ｅ0＝ｅ^π−１

　　Ｅ1＝（ｅ^π＋１）／２

　　Ｅ2＝２（ｅ^π−１）／５

　　Ｅ3＝３（ｅ^π＋１）／１０

　　π＞３．１２５よりｅ^π＞ｅ^3・ｅ^1/8

　　ｅ＞２．７よりｅ^π＞ｅ^3・ｅ^1/8＞２１→Ｅ2＞８，Ｅ3＜８

　あるいは，ｙ＝ｅ^x上の点（３，ｅ^3）における接線ｙ＝ｅ^3（ｘ−２）と比較すると

　　ｅ^π＞ｅ^3（π−２）＞２１

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