正五角形にまつわる数多くの式はφあるいは√５を使って自由に書き換えることができる。

たとえば、辺の長さが１の正五角形の面積は,

1/4・(3+4φ)^1/2+1/2・(2+φ)^1/2

であるが、以下の式を利用して計算すると、より美しく書き直すことができる。

1/4・(√5・φ^3)^1/2+1/2・(√5・φ)^1/2

＝φ/4・(√5・φ)^1/2+1/2・(√5・φ)^1/2

＝(φ+2)/4・(√5・φ)^1/2

＝(√5・φ)/4・(√5・φ)^1/2

＝1/4・(√5・φ)^3/2

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　　φ^-4＝−３φ＋５、 √５φ^-4＝７φ−１１

　　φ^-3＝２φ−３、 √５φ^-3＝-４φ＋７

　　φ^-2＝−φ＋２、 √５φ^-2＝３φ−４

　　φ^-1＝φ−１、 √５φ^-1＝−φ＋３

　　φ^0＝１、 √５φ^0＝２φ−１

　　φ^1＝φ、 √５φ^1＝φ＋２

　　φ^2＝φ＋１、 √５φ^2＝３φ＋１

　　φ^3＝２φ＋１、 √５φ^3＝４φ＋３

　　φ^4＝３φ＋２、 √５φ^4＝７φ＋４

　　φ^5＝５φ＋３、 √５φ^5＝11φ＋７

　　φ^6＝８φ＋５、 √５φ^6＝18φ＋11

　右辺ｍφ＋ｎの係数ｍ，ｎはフィボナッチ数列をなす．

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一般に

　　φ^n＝Fnφ＋Fn-1

と書くことができる。

もし、φとφ^2の組み合わせに分割するならば

　　φ^3＝1φ＋1φ^2

　　φ^4＝1φ＋2φ^2

　　φ^5＝2φ＋3φ^2

　　φ^6＝3φ＋5φ^2

　　φ^n＝Fn-2φ＋Fn-1φ^2

と書くことができる。

フィボナッチ数列の漸化式を

Fn+2=Fn+1+Fn→Fn=Fn+2-Fn+1

と書き換えるとnが負の領域にも拡張できる。

F0=0,F-n=(-1)^(n+1)Fn

　　φ^-n＝(-1)^n(Fn+1-Fnφ)

　　φ^-n＝F-n-1＋F-nφ

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　　φ^n＝Fn-1＋Fnφ

　　φ^-n＝(-1)^n(Fn+1-Fnφ)

nが偶数の場合

　　φ^-n＝(Fn+1-Fnφ)

したがって

Fn=1/√5・(φ^n-φ^-n)

nが奇数の場合

　　φ^-n＝-(Fn+1-Fnφ)

したがって

Fn=1/√5・(φ^n+φ^-n)

一つの式にまとめると

Fn=1/√5・(φ^n-(-φ^)-n)

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ｎが奇数のとき

２φ^n＝Fn√5＋(Fn-1＋Fn+1)

２φ^-n＝Fn√5−(Fn-1＋Fn+1)

ｎが偶数のとき

２φ^n＝(Fn-1＋Fn+1)＋Fn√5

２φ^-n＝(Fn-1＋Fn+1)−Fn√5

　　2φ^1＝1+√5

　　2φ^2＝3+√5

　　2φ^3＝4＋2√5→φ^3＝2＋√5

　　2φ^4＝7＋3√5

　　2φ^5＝11＋5√5

　　2φ^6＝18＋8√5→φ^6＝9＋4√5

　　2φ^-1＝-1+√5

　　2φ^-2＝3-√5

　　2φ^-3＝-4＋2√5→φ^-3＝-2＋√5

　　2φ^-4＝7-3√5

　　2φ^-5＝-11＋5√5

　　2φ^-6＝18-8√5→φ^-6＝9-4√5

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　　2φ^1＝1+√5

　　2φ^-1＝-1+√5

　　2φ^1-2φ^-1＝2

　　2φ^2＝3+√5

　　2φ^-2＝3-√5

　　2φ^2+2φ^-2＝6

　　2φ^3＝4＋2√5

　　2φ^-3＝-4＋2√5

　　2φ^3-2φ^-3＝8

　　2φ^4＝7＋3√5

　　2φ^-4＝7-3√5

　　2φ^4+2φ^-4＝14

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