■φ形式の算法(その37)
正五角形にまつわる数多くの式はφあるいは√5を使って自由に書き換えることができる。
たとえば、辺の長さが1の正五角形の面積は,
1/4・(3+4φ)^1/2+1/2・(2+φ)^1/2
であるが、以下の式を利用して計算すると、より美しく書き直すことができる。
1/4・(√5・φ^3)^1/2+1/2・(√5・φ)^1/2
=φ/4・(√5・φ)^1/2+1/2・(√5・φ)^1/2
=(φ+2)/4・(√5・φ)^1/2
=(√5・φ)/4・(√5・φ)^1/2
=1/4・(√5・φ)^3/2
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φ^-4=−3φ+5、 √5φ^-4=7φ−11
φ^-3=2φ−3、 √5φ^-3=-4φ+7
φ^-2=−φ+2、 √5φ^-2=3φ−4
φ^-1=φ−1、 √5φ^-1=−φ+3
φ^0=1、 √5φ^0=2φ−1
φ^1=φ、 √5φ^1=φ+2
φ^2=φ+1、 √5φ^2=3φ+1
φ^3=2φ+1、 √5φ^3=4φ+3
φ^4=3φ+2、 √5φ^4=7φ+4
φ^5=5φ+3、 √5φ^5=11φ+7
φ^6=8φ+5、 √5φ^6=18φ+11
右辺mφ+nの係数m,nはフィボナッチ数列をなす.
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一般に
φ^n=Fnφ+Fn-1
と書くことができる。
もし、φとφ^2の組み合わせに分割するならば
φ^3=1φ+1φ^2
φ^4=1φ+2φ^2
φ^5=2φ+3φ^2
φ^6=3φ+5φ^2
φ^n=Fn-2φ+Fn-1φ^2
と書くことができる。
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nが奇数のとき
2φ^n=Fn√5+(Fn-1+Fn+1)
2φ^-n=Fn√5−(Fn-1+Fn+1)
nが偶数のとき
2φ^n=(Fn-1+Fn+1)+Fn√5
2φ^-n=(Fn-1+Fn+1)−Fn√5
2φ^1=1+√5
2φ^2=3+√5
2φ^3=4+2√5→φ^3=2+√5
2φ^4=7+3√5
2φ^5=11+5√5
2φ^6=18+8√5→φ^6=9+4√5
2φ^-1=-1+√5
2φ^-2=3-√5
2φ^-3=-4+2√5→φ^-3=-2+√5
2φ^-4=7-3√5
2φ^-5=-11+5√5
2φ^-6=18-8√5→φ^-6=9-4√5
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2φ^1=1+√5
2φ^-1=-1+√5
2φ^1-2φ^-1=2
2φ^2=3+√5
2φ^-2=3-√5
2φ^2+2φ^-2=6
2φ^3=4+2√5
2φ^-3=-4+2√5
2φ^3-2φ^-3=8
2φ^4=7+3√5
2φ^-4=7-3√5
2φ^4+2φ^-4=14
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