ラマヌジャンの友達は数であった．ここでは，

　　ｘ^3＋ｙ^3＝ｚ^3＋ｗ^3

の条件を緩めて，

　　ｘ^3＋ｙ^3＝ｚ^3＋（±１）^3

を満たす整数解が無数にあることを示そう．フェルマーの最終定理が成り立つまであと一歩の解は無限に存在するのである。

　［参］チャンバーランド「ひとけたの数に魅せられて」岩波書店

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　３つの数列｛ａn｝，｛ｂn｝，｛ｃn｝の母関数を以下のように定義する．

　　Σａnｘ^n＝（１＋５３ｘ＋９ｘ^2）／（１−８２ｘ−８２ｘ^2＋ｘ^3）

　　Σｂnｘ^n＝（２−２６ｘ−１２ｘ^2）／（１−８２ｘ−８２ｘ^2＋ｘ^3）

　　Σｃnｘ^n＝（２＋８ｘ−１０ｘ^2）／（１−８２ｘ−８２ｘ^2＋ｘ^3）

　すると

ｎ　　　　　　ａn 　　　　　　　ｂn 　　　　　　　ｃn

０　　　　　　　１　　　　　　　２　　　　　　　　２

１　　　　　１３５　　　　　１３８　　　　　　１７２

２　　　１１１６１　　　１１４６８　　　　１４２５８

３　　９２６２７１　　９５１６９０　　１１８３２５８

のようになりますが，このとき

　　ａn^3＋ｂn^3＝ｃn^3＋（−１）^n

がすべてのｎ＝０，１，２，３，・・・に対して成り立つ．

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　（ａ，ｂ，ｃ）＝（１，２，２）から始まって次々に解となる数を見つけることができるというわけですが，（ａ，ｂ，ｃ）＝（６，８，９）や（９，１０，１２）は含まれず，すべての解をもれなく表す式ではありません．

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