一般に，

　　１／１−１／２＋１／３−１／４＋・・・＝ｌｏｇ２

の項の順序を，正の項をｍ個，負の項をｎ個ずつ交互に並べ替えてできる級数の和は

　　ｌｏｇ２＋１／２・ｌｏｇｍ／ｎ

となる．

［１］ｍ＝２，ｎ＝１→３／２ｌｏｇ２

［２］ｍ＝１，ｎ＝２→１／２ｌｏｇ２

　すなわち，この級数は項を足す順序を変えるだけで，カメレオンのようにどんな値にでも・・・２９７．１２６でも−４２πでも０でもお好みの実数になれるのである．たとえば，０にしたいならば

　　２ｌｏｇ２＋ｌｏｇｍ／ｎ＝０→ｍ＝１，ｎ＝４

　有限の和ではこのようなことは絶対に起こらないが，無限の和では加法の交換法則が成り立たないような，想像もつかない奇妙なことが起こるのである．

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　ｍ＝１，ｎ＝２の場合を調べてみる．

　　（１−１／２−１／４）＋（１／３−１／６−１／８）＋（１／５−１／１０−１／１２）＋・・・

次に括弧の中の第３項はいじらないで，第１項から第２項を引くと

　　（１／２−１／４）＋（１／６−１／８）＋（１／１０−１／１２）＋・・・

１／２でくくると

　　１／２（１−１／２＋１／３−１／４＋１／５／１／６＋・・・）

　つまり交代調和級数は項を並べ替えただけで元の半分の大きさになってしまうのである．（→コラム「バナッハ・タルスキのパラドックス」参照）

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