【１】絶対収束する級数

　　１−１／２＋１／４−１／８＋１／１６−１／３２＋１／６４−・・・＝２／３

　　１＋１／２＋１／４＋１／８＋１／１６＋１／３２＋１／６４＋・・・＝２

　　（１＋１／４−１／２）＋（１／１６＋１／６４−１／８）＋・・・＋（１／２^4n＋１／^4n+2−１／２^2n+1）＋・・・＝２／３

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【２】条件収束する級数

　　１／１−１／２＋１／３−１／４＋・・・＝ｌｏｇ２

　　１／１＋１／２＋１／３＋１／４＋・・・＝∞

　負の項が２つの連続する正の項をはさんで現れる級数

　　｛１／１＋１／３−１／２｝＋｛１／５＋１／７−１／４｝＋・・・＝３／２ｌｏｇ２

正の項に引き続いて負の項が２つの連続する級数

　　｛１／１−１／２−１／４｝＋｛１／３−１／６−１／８｝＋・・・＝１／２ｌｏｇ２

（証明）

　　｛１／１−１／２−１／４｝＋｛１／３−１／６−１／８｝＋・・・

　　＝１／２ｌｏｇ２を示す．

　与えられた級数は

　Σ｛１／（２ｎ−１）−１／２（２ｎ−１）−１／（２（２ｎ−１）＋２）｝

＝Σ｛１／（４ｎ−２）−１／４ｎ｝

　一方，１／１−１／２＋１／３−１／４＋・・・＝ｌｏｇ２より

１／２ｌｏｇ２＝１／２−１／４＋１／６−１／８＋・・・

　　　　　　　＝（１／２−１／４）＋（１／６−１／８）＋・・・

　　　　　　　＝Σ｛１／（４ｎ−２）−１／４ｎ｝

　一般に，

　　１／１−１／２＋１／３−１／４＋・・・＝ｌｏｇ２

の項の順序を，正の項をｍ個，負の項をｎ個ずつ交互に並べ替えてできる級数の和は

　　ｌｏｇ２＋１／２・ｌｏｇｍ／ｎ

となる．

［１］ｍ＝２，ｎ＝１→３／２ｌｏｇ２

［２］ｍ＝１，ｎ＝２→１／２ｌｏｇ２

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