有理数同士の演算結果はいつも有理数であるが、無限の演算は例外である。

　　１−１／２＋１／３−１／４＋・・・＝ｌｏｇ２

　１／１−１／２＋１／３−１／４＋１／５−１／６＋・・・

は調和級数の交代級数で，この値は対数関数のマクローリン展開

　　ｌｏｇ（１＋ｘ）＝ｘ−ｘ^2／２＋ｘ^3／３−ｘ^4／４＋・・・

によりｌｏｇ２に収束することがわかります．

　　Σ（−１）^n-1 ・１／ｎ＝ｌｏｇ２

無限の有理数の数列が無理数に収束するのは数学におけるもっとも珍しい現象の一つである。メルカトール数列とかグレゴリー数列と呼ばれます．

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同類の有名な分数列が

　　１−１／３＋１／５−１／７＋・・・＝π／４

である。

　　１−１／３＋１／５−１／７＋・・・＝π／４

はライプニッツ級数，グレゴリー級数と呼ばれますが，それよりも３００年近い前（１４００年頃），インドのマーダヴァが証明済みだったとのことです．

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　それでは，

［Ｑ］１−１／４＋１／７−１／１０＋・・・＝？

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