ここでは、方程式x^3-3x+1=0は有理数解をもたないことを証明する

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有理数解q/pをもつと仮定する.ただし、ｐ、ｑは互いに素

(q/p)^3-3(q/p)+1=0

q^3-3qp^2+p^3=0

q^3=3qp^2-p^3=p=p(3qp-p^2)・・・ｐの倍数

ｐ、ｑは互いに素であるから、ｐ＝1

q^3-3q+1=0

1=3q-q^3=q(3-q^2)

q=1,-1

しかし、x=1,-1は解ではない

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方程式x^3-3x+1=0は、定規とコンパスのみを使って120°を3等分することの可能性に関連する方程式である。

cos3α=4(cosα)^3-3cosα

2cos3α=8(cosα)^3-6cosα

2cos3α=ｘとおけば

2cos3α=8(cosα)^3-6cosα=x^3-3x

3α=120°とするとo

1=x^3-3x

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