ある定数Ｐ＝１．３０６・・・（ミルズ定数）が存在して，素数だけしか与えない素数生成式

　　ｐn＝［Ｐ^(3^n)］

が知られている．

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　１９４７年，ミルズはある定数Ａが存在し，すべてのｎに対して素数だけしか与えない公式

　　ｐn＝［Ａ^3^n］

を示した．

　　１．３０６３７７８８３８６３＜Ａ＜１．３０６３７７８８３８６９

　　ｐ1＝２，ｐ2＝１１，ｐ3＝１３６１，ｐ4＝２５２１００８８８７

　一方，ｎ＜ｐ≦２ｎの間には常に１個の素数があるという１８４５年のベルトラン仮説を１８５０年，チェビシェフが証明した．今回のコラムではこれを使って，

　　［２^b］，［２^2^b］，［２^2^2^b］，・・・

がすべて素数となる定数ｂ〜１．２５が存在するという証明を紹介したい．

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【１】証明

　ｐ1＝２とし，ｐnを２^Pn-1より大きい最も小さい素数する．このとき，ベルトラン仮説より

　　２^Pn-1＜ｐn≦２^Pn-1+1

である．

　　ｂ＝ｌｏｇｌｏｇ・・・（ｐn）＝ｌｏｇ^n（ｐn）

とすればよい．ｎ→∞のとき，ｂ→１．２５１６４７５９７７９０５・・・であって，

　　ｐ1＝２，ｐ2＝５，ｐ3＝３７，ｐ4＝２^37＋９

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