ａn＝（１＋１／ｎ）^n

　　２≦（１＋１／ｎ）^n＜３

　　（１＋１／ｎ）^n→ｅ

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［１］ａn＜２＋５／６であることを示したい．

　　ａn≦１＋１／１！＋１／２！＋１／３！＋・・・＋１／ｎ！

また，２^n-1≦ｎ！より，ｎ＞５のとき

　　ａn＜１＋１／１！＋１／２！＋１／３！＋１／４！＋１／２^4＋・・・＋１／２^n-1

　　ａn＜１＋１／１！＋１／２！＋１／３！＋１／４！＋１／２^4（１＋１／２＋１／２^2＋・・・＋１／２^n-5）

＜１＋１／１！＋１／２！＋１／３！＋１／４！＋２／１６

＜１＋１＋１／２＋１／６＋１／２４＋１／８＝２＋５／６

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［２］２＜ｅ＜３が無理数であることを示したい．

　ｅが有理数ｅ＝ｍ／ｎであると仮定する．すると

　ｅ＝Σ１／ｋ！＋ｅｘｐ（θ）／（ｎ＋１）！なる０＜θ＜１が存在する．

両辺にｎ！をかけると

　　ｎ！ｅ＝Σｎ！／ｋ！＋ｅｘｐ（θ）／（ｎ＋１）

　　ｎ！ｅ−Σｎ！／ｋ！＝ｅｘｐ（θ）／（ｎ＋１）

左辺は整数，右辺が整数となるためには

　　１＜ｅｘｐ（θ）／（ｎ＋１）＜３／（ｎ＋１）

より，ｎ＝１でなければならない．→ｅは自然数→ｅが有理数であることに矛盾する．

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