いまさら補足というほどのことでもないが，部分積分を用いて漸化式を作ることによって，ｍ，ｎ≧０の場合には

　　Ｉ（ｍ，ｎ）＝∫ｘ^m（ｌｎｘ）^nｄｘ

＝ｘ^m+1／（ｍ＋１）Σ（−１）^kｎ！（ｌｎｘ）^n-k／（ｎ−ｋ）！（ｍ＋１）^k

＝ｘ^m+1／（ｍ＋１）｛（ｌｎｘ）^n−ｎ（ｌｎｘ）^n-1／（ｍ＋１）＋・・・｝

　　ｘ^x＝１＋ｘｌｎｘ／１！＋（ｘｌｎｘ）^2／２！＋（ｘｌｎｘ）^3／３！＋（ｘｌｎｘ）^4／４！＋・・・

であるから，

　　Ｉ（ｍ，ｍ）＝∫ｘ^m（ｌｎｘ）^mｄｘ

＝ｘ^m+1／（ｍ＋１）Σ（−１）^kｍ！（ｌｎｘ）^m-k／（ｍ−ｋ）！（ｍ＋１）^k

＝ｘ^m+1／（ｍ＋１）｛（ｌｎｘ）^m−ｍ（ｌｎｘ）^m-1／（ｍ＋１）＋・・・｝

　ｘ→＋０のとき，ｌｉｍｘ^m（ｌｎｘ）^n＝０であることから，奇跡的相殺が起こって

　　∫(0,1)ｘ^xｄｘ＝１−１／４＋１／２！（２！／３^3）−１／３！（３！／４^4）＋１／４！（４！／５^5）−・・・

＝１−１／２^2＋１／３^3−１／４^4＋１／５^5−・・・

＝Σ（−１）^k+1／ｋ^k

＝０．７８３４３０５１０８

だ残るというわけである．

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