【１】ベルヌーイ積分

　１６９７年，ヨハン・ベルヌーイは曲線ｙ＝ｘ^xとｘ＝０，ｘ＝１，ｘ軸とで，囲まれる面積を求めている．

　　∫(0,1)ｘ^xｄｘ

　ｚ＝ｌｎＮならば

　　Ｎ＝１＋ｚ／１！＋ｚ^2／２！＋ｚ^3／３！＋ｚ^4／４！＋・・・

Ｎ＝ｘ^xとおくと

　　ｘ^x＝１＋ｘｌｎｘ／１！＋（ｘｌｎｘ）^2／２！＋（ｘｌｎｘ）^3／３！＋（ｘｌｎｘ）^4／４！＋・・・

　ここで，部分積分を用いて漸化式を作ることによって

　　∫(0,1)ｘ^xｄｘ＝１−１／２^2＋１／３^3−１／４^4＋・・・

＝Σ（−１）^k+1／ｋ^k

＝０．７８３４３０５１０８

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【２】オイラー積分

　オイラーは曲線ｙ＝ｓｉｎ（ｌｎｘ）／ｌｎｘとｘ＝０，ｘ＝１，ｘ軸とで，囲まれる面積を求めている．

　ｓｉｎ（ｌｎｘ）／ｌｎｘ＝１−（ｌｎｘ）^2／３！＋（ｌｎｘ）^4／５！−（ｌｎｘ）^6／７！＋・・・

　　∫(0,1)ｓｉｎ（ｌｎｘ）ｄｘ／ｌｎｘ＝１−２！／３！＋４！／５！−６！／７！＋・・・

＝１−１／３＋１／５＋１／７＋・・・（ライプニッツ級数）

＝π／４

　おもしろい例として

　　∫(0,1)（ｌｎｘ）^5ｄｘ／（１＋ｘ）＝３１π^6／２５２

　　∫(0,1)ｓｉｎｘｄｘ／ｘ）＝π／２

　　∫(0,1)ｓｉｎ（ｐｌｎｘ）ｃｏｓ（ｑｌｎｘ）ｄｘ／ｌｎｘ＝１／２・ａｒｃｔａｎ（２ｐ／（１−ｐ^2＋ｑ^2））

など，たくさんでてくる．

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