正五角形の外殻になっている５本の辺（ペンタゴン）と内部にある５本の対角線（ペンタグラム）の相互関係について

この図の中に何枚の三角形がはいっているか？

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小三角形10

中三角形10

大三角形5

正五角形を含む三角形10

の計35枚

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正五角形に対角線を描き入れると星形五角形（ソロモンの星）ができるが，正五角形と星形五角形の入れ子はペンタグラムと呼ばれる．

　この図はＫ5と呼ばれる完全グラフである．グラフ理論を知っている人にとって，Ｋ5とＫ3,3を含むグラフはどうやっても平面グラフにはならない（クラトウスキーの定理）ことは常識的なことである．

　グラフ理論を知っているひとならば，完全グラフＫ5と答えるかもしれない．しかし，それでもイメージは貧困である．幾何学者にとっては，この図形は４次元正単体の投影図そのものなのである．もっといえば，ｎ次元正単体は（ｎ＋１）個の点からなる完全グラフＫn+1とみなすことができるのである．

　もし，この図が５つの四面体の結合にみえたなら，あなたも立派な幾何学者である．そこで格言，「この五角形が４次元正単体に見えぬ者は高次元幾何学の門をくぐるなかれ」

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数学の世界には，ごく稀ですが，４次元や高次元の世界をイメージできる人がいます．たとえば，ペトリーは子供の頃から数学に対する異常な能力を示し，４次元図形を直観的に見ることができたといわれています．

　しかしながら，３次元の世界を視覚化できるだけでも十分に希有な能力であって，数学者であっても２次元のイメージで何とかやっている人がほとんどです．実際，数学者であってもこの図形が４次元正単体の投影図であることを知っている人は（たとえいたとしても）少ないのです．

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