∫(a,b)ｆ（ｘ）ｄｘに対する原始関数Ｆ（ｘ）が見つかればまことに好都合であるが，私たちはあらゆる関数の原始関数を知っているわけではない．実際，これまでのところ不定積分が見つかっていない関数があり，それらはこれからも見つかるという希望はかなえられそうにない．

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　（その１４）に掲げた問題

　　∫(-1,1) 1/Sqrt((1-2sx+s^2)(1-2tx +t^2) dx

は，ルジャンドルの多項式を使って，エレガントな計算で求められることがわかった．

　　∫(-1,1) 1/Sqrt((1-2sx+s^2)(1-2tx +t^2) dx

＝Σ２（ｓｔ）^n／（２ｎ＋１）

＝1/sqrt(st))log((1+sqrt(st))/(1-sqrt(st)))

を示すことができるのであるが，この問題は，

　　∫(-1,1) 1/Sqrt((a-x)(b-x)) dx

＝ｌｏｇ((a+b-2-2√(a-1)(b-1))/((a+b+2-2√(a+1)(b+1))

に帰着されるのである．

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