【１】三角形に関する不等式

　まず，頭の体操からはじめましょう．「正三角形内の任意の点Ｐから，各辺までの距離をｒ1，ｒ2，ｒ3とすれば，その和は，点Ｐの位置にかかわらず，常に一定である．」という問題を解いてみることにします．

　正三角形の１辺の長さが１のとき，

　　ｒ1＋ｒ2＋ｒ3＝√３／２

すなわち，この和が正三角形の高さと等しくなることは（小生が勝手に寄木細工定理と呼んでいるものを使って）簡単に求められます．

　次に「正三角形内の任意の点Ｐから，各頂点までの距離をＲ1，Ｒ2，Ｒ3とすれば，その和が最大になるのは点Ｐが重心に一致するときである．」について考えてみることにしましょう．

　求める点Ｐをフェルマー点といいます．点Ｐは三角形ＡＢＣの内部にありますが，∠Ａ，∠Ｂ，∠Ｃ＜１２０°のときには，３頂点に至る距離の和が最小となる点は３辺を等角１２０°に見込む点です．∠Ａ，∠Ｂ，∠Ｃのいずれかが≧１２０°のときには，それぞれ頂点Ａ，頂点Ｂ，頂点Ｃになります．したがって，正三角形の１辺の長さが１のとき，

　　Ｒ1＋Ｒ2＋Ｒ3≧√３

より，最小値√３が得られます．

　「Ａ，Ｂ，Ｃ３軒の家に電線をひきたい．電線の長さを最小にするにはどこの柱を立てればよいか」ではＡＰ＋ＢＰ＋ＣＰを最小にする実用価値のある問題になります．このような最短配線問題は最小木問題（問題の発案者シュタイナーに因んで最小シュタイナー木問題）と呼ばれていますが，ＶＬＳＩ回路を設計するときの最も基本的な技術となっています．

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