（証明）１／２ｙ（ｙ＋１）＝ｘ^2，すなわち，

　　（２ｙ＋１）^2−２（２ｘ）^2＝１

をみたす自然数の組（ｘ，ｙ）が無限にあることいえばよい．

　自然数ａn，ｂnを（１＋√２）^n＝ａn＋ｂn√２によって定義すると，

　　ａn^2−２ｂn^2＝（ａn＋ｂn√２）（ａn−ｂn√２）

　　　　　　　　　＝（１＋√２）^n（１＋√２）^n＝（−１）^n

また，（１＋√２）^nの展開を考えると，

　　ａn＝１＋（偶数），ｂn＝ｎ＋（偶数）

よって，ｎを偶数にとるとａn^2−２ｂn^2＝１，ａnは奇数，ｂnは偶数．

そこで，ｙ＝（ａn−１）／２，ｘ＝ｂn／２とおくと，

　　（２ｙ＋１）^2−２（２ｘ）^2＝１

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（Ｑ２）△＝□，すなわち，三角数ｎ（ｎ＋１）／２が完全平方数ｍ^2となるｎの値を求めよ．

（Ａ２）ｎ^2＋ｎ＝２ｍ^2

　　４ｎ^2＋４ｎ＋１＝８ｍ^2＋１

　　（２ｎ＋１）^2＝２（２ｍ）^2＋１

ここで，２ｎ＋１＝ｐ，２ｍ＝ｑとおくと

　　ｐ^2−２ｑ^2＝１　　（ペル方程式）

に帰着されます．

　　（ｐ，ｑ）＝（３，２），（１７，１２），（９９，７０），（５７７，４０８），（３３６３，２３７８），・・・

　→（ｎ，ｍ）＝（１，１），（８，６），（４９，３５），（２８８，２０４），（１６８１，１１８９），・・・ｎは完全平方と完全平方の２倍を交互に繰り返します．

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