（証明）１／２ｙ（ｙ＋１）＝ｘ^3は，（２ｙ＋１）^2＝（２ｘ）^3＋１と書き換えられるから，楕円曲線ｙ^2＝ｘ^3＋１の整数解に関する主張だと解釈できる．

　実は，これには整数点は（２，±３），（０，±１），（−１，０）の５つしかありません．また，この楕円曲線には有理点もやはりこの５つしかないのです．これより，１以外の３角数は立方数ではないことが導かれます．

　一方，ｙ^2＝ｘ^3−２は（３，±５）以外の整数点をもちません（ｙ^2＝ｘ^3−２の整数解について，古代ギリシアのディオファントスは，ｙ＝ｔ＋１，ｘ＝ｔ−１とおき，ｙ^2＝ｘ^3−２に代入するとｔ^2＋２ｔ＋１＝ｔ^3−３ｔ^2＋３ｔ−３．この式はｔ（ｔ^2＋１）＝４（ｔ^2＋１）と変形できるので，ｔ＝４すなわちｙ＝５，ｘ＝３が解であるとしています）．

　しかし，この曲線には，無数に有理点が得られます．たとえば，（１２９／１００，±３８３／１０００）．また，ｙ^2＝ｘ^3−４の整数点は（２，±２），（５，±１１）の４個のみですが，有理点は（１０６／９，±１０９０／２７）など無数個存在します．

　ところで，当該の楕円曲線：ｙ^2＝ｘ^3＋１の一般形は，バシェの方程式：

　　ｙ^2＝ｘ^3−ａ と呼ばれるもので，一般に，バシェの方程式：ｙ^2＝ｘ^3−ａには有限個の整数解しかないのですが，たとえば，ａ＝−７に対しては１つも整数解がありません．また，ａ≠−１，４３２ならば曲線上には無限個の有理点があることがわかっています．

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