（証明）１／２ｙ（ｙ＋１）＝ｘ^2，すなわち，

　　（２ｙ＋１）^2－２（２ｘ）^2＝１

をみたす自然数の組（ｘ，ｙ）が無限にあることいえばよい．

　自然数ａn，ｂnを（１＋√２）^n＝ａn＋ｂn√２によって定義すると，

　　ａn^2－２ｂn^2＝（ａn＋ｂn√２）（ａn－ｂn√２）

　　　　　　　　　＝（１＋√２）^n（１＋√２）^n＝（－１）^n

また，（１＋√２）^nの展開を考えると，

　　ａn＝１＋（偶数），ｂn＝ｎ＋（偶数）

よって，ｎを偶数にとるとａn^2－２ｂn^2＝１，ａnは奇数，ｂnは偶数．

そこで，ｙ＝（ａn－１）／２，ｘ＝ｂn／２とおくと，

　　（２ｙ＋１）^2－２（２ｘ）^2＝１

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