ｎ次元単位超球{x1^2+x2^2+･･･+xn^2≦1}の体積をｎ次元球の体積をＶn，表面積をＳn-1とします．

　　Ｖn=π^(n/2)/Γ(n/2+1)

で与えられますが，Ｖ1=2（直径）,Ｖ2=π（面積）,Ｖ3=4π/3（体積）はご存知でしょう．

　ｎが整数のとき，実際にＶnの値を計算してみると，超球の体積はｎ＝５のとき最大８π^2／１５＝５．２６３７・・・となり，以後は減少します．

　　　　　　　Ｖn

１次元　　　　２

２次元　　　　π=3.14

３次元　　　　４π／３=4.19

４次元　　　　π^2／２=4.93

５次元　　　　８π^2／１５=5.263

６次元　　　　π^3／６=5.167

７次元　　　　１６π^3／１０５=4.72

（次元を整数に限らなければ５．２５６次元で最大となり，そのときの体積は5.277･･･である．）

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　２ｎ次元超球の体積は

　　Ｖ2n=π^n/ｎ！

　このことから０次元も含めて偶数次元の単位超球の体積をすべて加えた値は　　ｅｘｐ（π）

になる．

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