正15角形は15=3・5で、3と5のいずれもがフェルマー素数だから定規とコンパスのみで作図可能である。

正17角形は17がフェルマー素数であるため作図可能である。

正18角形は18=2・3・3で、3が2回も登場するため作図できない。

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　正五角形の作図は，黄金比の作図と同値であるが，

　　ＡＢ＝√５，ＢＣ＝２，ＣＡ＝１

の直角三角形について，ＡＤ＝１，ＢＤ＝√５−１なるＡＢ上の点をＤとし，　　ＢＥ＝√５−１

となるＢＣ上の点をＢＥとすると，ＢＣは

　　ＢＥ：ＥＣ＝√５−１：３−√５＝１：（√５−１）／２＝φ：１

に黄金分割される．

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　正十七角形の作図は，

　　ＡＢ＝√１７，ＢＣ＝４，ＣＡ＝１

の直角三角形について，類似の方法で作図することができるのであるが，単位円に内接する正十七角形の辺の長さは

　　１／４（Ａ−Ｂ−ｃ）^1/2

　　Ａ＝３４＋３√１７

　　Ｂ＝（３４−２√１７）^1/2

　　Ｃ＝２｛１７＋３√１７＋（１７０−２６√１７）^1/2−４（３４＋２√１７）^1/2｝^1/2

の形で与えられる．

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　正ｎ角形は

　　２^k＝１，２，４，８，・・・

　　２^2^k＋１型素数＝３，５，１７，２５７，６５５３７

　　２^2^k＋１型素数がそれぞれ１回までの積

のとき，定規とコンパスで作図可能である．

　　正１４角形：２・７→作図不可能

　　正１５角形：３・５→作図可能

　　正５０角形：２・５・５→作図不可能

　　正５１角形：３・１７→作図可能

正５０角形は作図不可能であるが、正５１角形は作図可能である。

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