「カオス」という語は日常に使う意味とは対照的に，自然科学の中では特定の意味「無秩序の中に存在する秩序」をもっています．すなわち，カオスの本質は

ａ）完全に非周期性でかつ完全に決定論的であること

ｂ）初期値の選び方に大きく依存すること

であって，乱雑（ランダム）との間には明確な一線で画されます．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【１】ロジスティックモデル（カオスのモデル）

　１９７６年，アメリカの物理学者ファイゲンバウムは，奇妙ではあるが魅力的な考えを，反復関数

　　ｘ，ｆ（ｘ），ｆ（ｆ（ｘ））＝ｆ^(2)（ｘ），ｆ（ｆ（ｆ（ｘ）））＝ｆ^(3)（ｘ），・・・

に基づいて発展させ，ｆ（ｘ）が２次式になると，漸化式

　　ｘn+1＝ｆ（ｘn）

の挙動は極めて複雑になることを指摘しました．

　たとえば，

　　ｆ（ｘ）＝ｋｘ（１−ｘ）　　　（０＜ｋ≦４）

の形の漸化式はｋの値によって漸近挙動が全く異なったものになり，カオスと呼ばれる現象を引き起こします．

　　ｘn+1＝ｆ（ｘn）＝ｋｘn（１−ｘn）

ｘnが０と１の間の値をもつものと考えると，この式は人口増加のロジスティックモデルとなります．すなわち，ｘは人口増加，（１−ｘ）はそれに歯止めをかける傾向を反映する因子です．ここで，

ａ）０≦ｋ≦１なら，ｘnの値は初期値ｘ0にかかわらず０に近づく．

ｂ）１＜ｋ≦３なら，ｘnの値は初期値ｘ0にかかわらず固定点（ｋ−１）／ｋに近づく．

ｃ）３＜ｋ≦３．５６９９５ならば２^n個の極限値の間を振動する．

　　i)３＜ｋ＜３．４４（＝１＋√６）ならば２つの極限値の間を振動する（周期２のサイクル）．

　　ii)３．４４＜ｋ＜３．５４ならば４つの極限値の間を振動する（周期４のサイクル）．

　　iii)３．５４＜ｋ＜３．５６４ならば８つの極限値の間を振動する（周期８のサイクル）．

　　iv)３．５６４＜ｋ＜３．５６６ならば１６の極限値の間を振動する（周期１６のサイクル）．

ｄ）ｋ＞３．５６９９５（ファイゲンバウム点）のときには挙動はひどく複雑になり，周期的なのか，周期的とすればその周期はいくつかなどはわからないほどでたらめに荒々しく揺れ動くようになります．

　このような状態がカオスですが，カオスでは最終の人口増加が全く予測できないだけでなく，初期値の選び方に非常に大きく依存します．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝