デュドニーは正三角形を4片に分解してそれを組み替えなおして正方形をつくるパズルを創作した。

彼は正五角形を組み替えなおして正方形をつくるパズルも創作している。

ここでの問題は最小個数の部品の分割することである。

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

デュドニー自身の答えは6片というものであった。

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

正五角形の１辺の長さを1とする

面積は1/4・(√5φ)^3/2

AM=φ/2

MB=1-φ/2

GC=1+φ/2=1/2・(√5φ) =x

E(0.0)、C(1/2・φ^2,y)とおく

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

y^2+(1/2φ)^2=1

y^2=1/4・(√5φ)

z^2=xy=1/4・(√5φ)^3/2・・・zは正方形の１辺の長さに等しい

α^2=z^2-y^2とおくと

Kのｘ座標は1+1/2φ-α

C(1/2・φ^2,y)であるから

CKはＹ-y=m(X-1/2・φ^2)

m=y/α

L(X,Y)はG(-1/2φ-1+φ/2,y)=(-1/2,y)を通る傾き-1/mの直線Y-y=-1/m(X+1/2)との交点であるから

m(X-1/2・φ^2)=-1/m(X+1/2)より求まる。

X={m^2φ^2-1}/2(m^2+1)

Y=m(X-1/2・φ^2)+y

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

直線Y-y=-1/m(X+1/2)とx軸との交点は

my=(X+1/2)

X=my-1/2

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

A(-1/2φ,y)

AE:Y=-2φy・Xとの交点も求める。

-2φy・X-y=-1/m(X+1/2)

X=(1/2m-y)/(-1/m+2φy)

Y=-2φy・X

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

Eからの距離(X^2+Y^2)^1/2

C(1/2・φ^2,y)から(X^2+Y^2)^1/2の距離にあるBC上の点(ξ,η)

傾きはADに等しいから

m=y/(-1/2φ-1)

η-y=m(ξ-1/2・φ^2)

(η-y)^2+(ξ-1/2・φ^2)^2=(X^2+Y^2)

(m^2+1)(ξ-1/2・φ^2)^2=(X^2+Y^2)

(1/m^2+1)(η-y)^2=(X^2+Y^2)

(ξ-1/2・φ^2)^2=(X^2+Y^2)/(m^2+1)

(η-y)^2=(X^2+Y^2)/(1/m^2+1)

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝