最初の１０項の和は

　１＋１＋２＋３＋５＋８＋１３＋２１＋３４＋５５＝１４３＝１１・１３

は１１の倍数ですが，７番目の数１３の１１倍になっています．

　２１から始まる１０項の和は

　２１＋３４＋５５＋８９＋１４４＋２３３＋３７７＋６１０＋９８７＋１５９７＝４１４７＝１１・３７７

は１１の倍数ですが，７番目の数３７７の１１倍になっています．

　　１＋１＋２＋３＋５＋・・・＋ａ10＝１１ａ7

はともかくとして，一般に

　　ａn+1＋・・・＋ａn+10＝１１ａn+7

が成り立つだろうか？

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［１］ａ6までの和を求める．→ａ8−１

　　ａn+1＋ａn+2＋・・・＋ａn+6＝ａn+8−ａn+2

［２］ａn+9，ａn+10をａn+7，ａn+8で表す．

　　ａn+9＝ａn+8＋ａn+7

　　ａn+10＝ａn+9＋ａn+8＝２ａn+8＋ａn+7

［３］ａn+10までの和を求める．

　　ａn+1＋ａn+2＋・・・＋ａn+10＝ａn+8−ａn+2＋ａn+7＋４ａn+8＋２ａn+7

　　ａ7，ａ8の式になる．

［４］＝１１ａn+7とおくと，５ａn+8−ａn+2＝８ａn+7が成り立つことが必要になる．

［５］ａn+8をａn+7＋ａn+6で置き換えると，ａn+7，ａn+6の式になる

　　５ａn+7＋５ａn+6−ａn+2＝８ａn+7→５ａn+6−ａn+2＝３ａn+7

［６］辺々を引き算するとａn+8−ａn+6＝ａn+7となり，正しいことが判明する．

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a,b,a+b,a+2b,2a+3b,3a+5b,5a+8b,8a+13b,13a+21b,21a+34b

合計=55a+88b=11(5a+8b)

とするほうが簡単のようです。

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フィボナッチ数は1,1で始まるが、しかしながら必ずしも1,1で始める必要はなく、任意の整数a,bとすることも可能である。

a,b,a+b,a+2b,2a+3b,3a+5b,5a+8b,8a+13b,13a+21b,21a+34b

一般に、この数列はGn=aFn-2+bFn-1となる。

その公比は

Gn+1/Gn→(aφ+bφ^2)/(a+bφ)→φ

となる

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