正五角形の外殻になっている５本の辺（ペンタゴン）と内部にある５本の対角線（ペンタグラム）の相互関係については

この操作を繰り返すことによって、無限に入れ子状のペンタゴンとペンタグラムと作っていくことができる。

正五角形の辺の長さを１とすると入れ子の正五角形の１辺の長さは

φ/(2φ+1)=(3-√5)/2=1/φ^2

すなわち、公比1/φ^2の等比数列となるから、入れ子の正五角形の周長の合計は

5(1+1/φ^2+1/φ^4+1/φ^6+・・・)=5φ

この長さは元の正五角形に内接する５本の対角線=五芒星の周長に等しい。

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　φ^-4＝−３φ＋５、 √５φ^-4＝７φ−１１

　　φ^-3＝２φ−３、 √５φ^-3＝-４φ＋７

　　φ^-2＝−φ＋２、 √５φ^-2＝３φ−４

　　φ^-1＝φ−１、 √５φ^-1＝−φ＋３

　　φ^0＝１、 √５φ^0＝２φ−１

　　φ^1＝φ、 √５φ^1＝φ＋２

　　φ^2＝φ＋１、 √５φ^2＝３φ＋１

　　φ^3＝２φ＋１、 √５φ^3＝４φ＋３

　　φ^4＝３φ＋２、 √５φ^4＝７φ＋４

　　φ^5＝５φ＋３、 √５φ^5＝11φ＋７

　　φ^6＝８φ＋５、 √５φ^6＝18φ＋11

　右辺ｍφ＋ｎの係数ｍ，ｎはフィボナッチ数列をなす．

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