ナイトの問題において，ｎ＝１　（ｍｏｄ４）のとき，

　　（ｂ＋ｃ）／ａ＋（ｃ＋ａ）／ｂ＋（ａ＋ｂ）／ｃ＝ｎ

の自然数解（ａ，ｂ，ｃ）は存在しないという性質は，元々はフィボナッチ数の整除性に負っているものと思われる．

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　Ｆ1−１，Ｆ2＝１

　Ｆn＝Ｆn-1＋Ｆn-2

とすると

　Ｆ3＝２，Ｆ4＝３，Ｆ5＝５，Ｆ6＝８，Ｆ7＝１３，Ｆ8＝２１，Ｆ9＝３４

　Ｆ10＝５５，Ｆ11＝８９，Ｆ12＝１４４，Ｆ13＝２３３，・・・

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［１］フィボナッチ数を足しあせると，

　　Ｆ1＋Ｆ2＋・・・＋Ｆn

＝（Ｆ3−Ｆ2）＋（Ｆ4−Ｆ3）＋・・・＋（Ｆn+1−Ｆn-1）

＝Ｆn+1−Ｆ2＝Ｆn+1−１

　　Ｆ2＋Ｆ4＋・・・＋Ｆ2n

＝Ｆ1＋（Ｆ2＋Ｆ3）＋・・・＋（Ｆ2n-2＋Ｆ2n-1）

＝Ｆ2n+1−１

　　Ｆ1＋Ｆ3＋・・・＋Ｆ2n-1

＝Ｆ1＋（Ｆ1＋Ｆ2）＋・・・＋（Ｆ2n-2＋Ｆ2n-1）

＝Ｆ2n−１＋Ｆ1＝Ｆ2n

［２］２乗和

　　Ｆ1^2＋Ｆ2^2＋・・・＋Ｆn^2＝ＦnＦn+1

は，１辺の長さがフィボナッチ数の正方形をらせん状に配列すると，長方形ができるという図式説明がなされる．

［３］Ｆn^2−Ｆn-1Ｆn+1＝（−１）^n

　　　Ｆn^2−Ｆn-rＦn+r＝（−Ｆr）^n

は，４ピースからなる８×８の正方形を並べ替えると５×１３の長方形になるという有名なパラドックスのタネである．

［４］Ｆ3n＝０　　（ｍｏｄ２）

　　　Ｆ4n＝０　　（ｍｏｄ３）

　　　Ｆ5n＝０　　（ｍｏｄ５）

　　　Ｆ6n＝０　　（ｍｏｄ８）

　　　Ｆ7n＝０　　（ｍｏｄ１３）

すなわち，フィボナッチ数はｎ個おきに，Ｆnの倍数になる．

［５］（Ｆn，Ｆn+1）＝１

　　　ＧＣＤ（Ｆn，Ｆn+1）＝ＦGCD(FM,FN)

［６］Ｆn+1／Ｆn　→　τ

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