ａ＝Ｆ2k-1，ｂ＝Ｆ2k+1，ｄ＝Ｌ2k，ｃ＝ａｂｄ

　（ａ＋ｂ＋ｃ）（１／ａ＋１／ｂ＋１／ｃ）

＝（ａ＋ｂ＋ａｂｄ）（ｂｄ＋ａｄ＋１）／ａｂｄ

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【１】フィボナッチ数とリュカ数

　ａn＝ａn-1＋ａn-2という漸化式で生成される数列の特性方程式

　　ｘ^2−ｘ−１＝０

の２根を

　　α＝（１＋√５）／２，β＝（１−√５）／２

とおくと，フィボナッチ数列

　　１，１，２，３，５，８，・・・

の一般項は，

　　Ｆn ＝１／√５（α^n+1−β^n+1）　　　（n:0~)

　リュカ数列

　　２，１，３，４，７，１１，・・・

の一般項は

　　Ｌn＝α^n＋β^n　　　（n:0~)

で表されます．

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【２】カッシーニの等式

　　α＝（１＋√５）／２，β＝（１−√５）／２

とおくと，フィボナッチ数

　　ｆn＝１／√５｛α^n+1−β^n+1｝

とリュカ数

　　Ｌn＝α^n＋β^n

に対して，関係式（カッシーニの等式）

　　Ｆn+1Ｆn-1−Ｆn^2＝−（−１）^n

　　Ｌn+1Ｌn-1−Ｌn^2＝５（−１）^n+1

が示されます．

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【３】ナイトの問題

　　ａ＝ｆ2k-1＝１／√５・｛α^2k−β^2k｝＝１／√５・｛α^k−β^k｝｛α^k＋β^k｝

　　ｂ＝ｆ2k+1＝１／√５・｛α^2k+2−β^2k+2｝

＝１／√５・｛｛α^2k−β^2k｝｛α^2＋β^2｝＋α^2β^2k−α^2kβ^2｝

ここで

　　α＝（１＋√５）／２，β＝（１−√５）／２，αβ＝−１

　　α^2＋β^2＝（６＋２√５）／４，β^2＝（６−２√５）／４

　　α^2＋β^2＝３

より

　　ｂ＝ｆ2k+1＝１／√５・｛α^2k+2−β^2k+2｝

＝１／√５・｛３｛α^2k−β^2k｝＋α^2β^2k−α^2kβ^2｝

　　Ｌ2k＝α^2k＋β^2k

　　Ｆ2k+1Ｆ2k-1−Ｆ2k^2＝−（−１）^2k＝−１

　　Ｆ2k+1Ｆ2k-1＝Ｆ2k^2−１＝１／５・｛α^2k+1−β^2k+1｝^2−１

＝１／５・｛α^4k+2＋β^4k+2−２（αβ）^2k+1｝−１

ここで

　　α＝（１＋√５）／２，β＝（１−√５）／２，αβ＝−１

より

＝１／５・｛α^4k+2＋β^4k+2＋２−５｝

　　ｃ＝Ｆ2k-1Ｌ2kＦ2k+1＝｛α^4k+2＋β^4k+2−３｝｛α^2k＋β^2k｝／５

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ａ＋ｂ＋ｃ＝１／√５・｛α^2k−β^2k＋α^2k+2−β^2k+2｝＋｛α^4k+2＋β^4k+2−３｝｛α^2k＋β^2k｝／５

１／ａ＋１／ｂ＋１／ｃ＝√５・｛α^2k＋β^2k｝／｛α^4k−β^4k｝＋√５・｛α^2k+2＋β^2k｝／｛α^4k+4−β^4k+4｝＋５／｛α^4k+2＋β^4k+2−３｝｛α^2k＋β^2k｝

　なかなか簡単な形にならない．

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