一般に，正奇数角形正奇数角形Ａ1・・・Ａ2n+1の外接円の弧Ａ1Ａ2n+1上に点Ｐをとる．そのとき，

　　Ａ1Ｐ＋Ａ3Ｐ＋Ａ5Ｐ＋・・・＋Ａ2n+1Ｐ＝Ａ2Ｐ＋Ａ4Ｐ＋・・・＋Ａ2nＰ

が成り立つ．

　それでは，外接円の弧Ａ1Ａn上の点Ｐから引いた弦の長さの総和

　　Ａ1Ｐ＋Ａ2Ｐ＋・・・＋ＡnＰ

はどうなるか？

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　結論を先にいうと，外接円の半径をＲ，円周角をθ＝π／ｎ，∠ＰＡiＡ1＝αとすると

　　２Ｒｓｉｎ（ｎθ／２）ｓｉｎ（α＋（ｎ−１）θ／２）／ｓｉｎ（θ／２）

　最大値はα＝θ／２のとき，

　　２Ｒ／ｓｉｎ（θ／２）

　ｎ＝２ｍ，ｎ＝２ｍ＋１の場合のそれぞれに対して，図形的な意味を考えることができるが割愛する．

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　次に，外接円の中心からの距離がａである点Ｐから各頂点に引いた弦の長さの平方和

　　Ａ1Ｐ^2＋Ａ2Ｐ^2＋・・・＋ＡnＰ^2

はどうなるか？

　これも結論だけを述べると

　　ｎ（ａ^2＋Ｒ^2）

点Ｐが外接円周上にあるとき，ａ＝Ｒであるから

　　２ｎＲ^2

［例］正三角形の場合，

　　ＡＰ^2＋ＢＰ^2＋ＣＰ^2＝６Ｒ^2

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