数列ときくと、すくフィボナッチ数列

　　１，１，２，３，５，８，１３，２１，・・・

　　Ｆ（ｎ＋２）＝Ｆ（ｎ）＋Ｆ（ｎ＋１），Ｆ（１）＝１，Ｆ（２）＝１

を思い出すが，生成規則

［１］ｃn＝ｃn-1　　　　　　　　　　　　　　周期１

［２］ｃn＝１／ｃn-1　　　　　　　　　　　　周期２

［３］ｃn＝（ｃn-1＋１）／ｃn-2　　　　　　　周期５（ライネス）

［４］ｃn＝ｃn-1／ｃn-2　　　　　　　　　　　周期６

［５］ｃn＝（ｃn-1＋ｃn-2＋１）／ｃn-3　　　周期８（トッド）

は，大域的周期性をもつ数列を生成する．

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［３］ｃn＝（ｃn-1＋１）／ｃn-2　　　　　　　周期５

の場合について調べてみる．

　ｃ1＝ａ，ａ2＝ｂとすると，

　　ｃ3＝（ｂ＋１）／ａ

　　ｃ4＝（ａ＋ｂ＋１）／ａｂ

　　ｃ5＝（ａ＋１）／ｂ

　　ｃ6＝ａ

　　ｃ6＝ａ

となって，周期５で循環するのである．

　ただし，大域的周期性すなわち初期値によらず循環するためには，

　　ｂ＋１≠０，ａ＋ｂ＋１≠０，ａ＋１≠０

であることが必要になる．

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［Ｑ］漸化式

ｘn＝（ａ0＋ａ1ｘn-1＋・・・＋ａkｘn-k）／（ｂ1ｘn-1＋・・・＋ｂkｘn-k）

で解が周期的となるものをすべて求めよ．

［Ａ］ｋ＝２のとき，周期４の自明な解は存在しない．　別の意味で興味深い型の周期９のものとして

　　ｘn＝［ｘn-1］−ｘn-2　　（ブラウン）

がある．連分多項式を使えば任意の，周期が５以上の非線形漸化式を作ることができる．

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