フィボナッチ数列の各項はパスカルの三角形の対角線上の数の和に一致しています．２項係数とフィボナッチ数の間にも多くの関係があるのですが，この他にもフィボナッチ数は多くの性質をもっていて，以下にいくつか紹介しておきます．

　　Ｆn・Ｆn+2＝Ｆn+1^2−（−１）^n

　　Ｆ1＋Ｆ2＋Ｆ3＋・・・＋Ｆn＝Ｆn+2−１

　　Ｆ1＋Ｆ3＋Ｆ5＋・・・＋Ｆ2n-1＝Ｆ2n

　　Ｆ2＋Ｆ4＋Ｆ6＋・・・＋Ｆ2n＝Ｆ2n+1−１

　　Ｆ1^2＋Ｆ2^2＋Ｆ3^2＋・・・＋Ｆn^2＝Ｆn・Ｆn+1

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　有名な幾何学的パラドックス＜６４ｃｍ^2＝６５ｃｍ^2＞は，８・８の正方形から５・１３の長方形を作ると，いつのまにか面積が１だけ増えています．

　「不思議の国のアリス」の作者であるルイス・キャロルが創ったとも，パズルの大御所であるサム・ロイドが創ったともいわれているパズルです．１７９４年，フーパーが初めて紹介したという記述もあります（フーパーのパラドックス）．きっと，いろいろな本でみたことのある方も多いと思います．

　ファイボナッチ数の連続する３項には奇妙な関係があり，

　　Ｆn・Ｆn+2＝Ｆn+1^2−（−１）^n

すなわち，第１項と第３項をかけた数と第２項の２乗の差が常に±１になります．たとえば，５，８，１３の場合は５・１３＝８^2＋１になります．

　このトリックは一直線をなすように使われた２つの線分の傾き３／８，５／１３の相違がわれわれの視力の限界外となる錯覚を利用したもので，もっと先の数，たとえば８／２１とかを使えばより巧妙なトリックになります．公式

　　Ｆn・Ｆn+2＝Ｆn+1^2−（−１）^n

は，３つ並んだフィボナッチ数の真ん中の数の平方は前後の２つの数の積より１大きいか小さいかのどちらかで，このトリックパズルのもとになっています．

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正三角形を４つの部分に分解して、それを正方形に並べ替えよというパズルは1907年、デュドニーの作とされている。面積の等しい任意の多角形は分解合同になるボヤい・ゲルヴィンの定理の例である。

フーパーのパラドックスも正方形を4片に分解して、長方形に並べ替えたように見えるが、それらの面積を比較すると64＝65になっているように見える。同じ４片の並べ替えでも一方は定理であり、一方はトリックなのである。

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